【leetcode】69.x的平方根 （二分法+牛顿法，java实现）

69. x 的平方根

实现 int sqrt(int x) 函数。

计算并返回 x 的平方根，其中 x 是非负整数。

由于返回类型是整数，结果只保留整数的部分，小数部分将被舍去。

示例 1:

输入: 4
输出: 2

示例 2:

输入: 8
输出: 2
说明: 8 的平方根是 2.82842..., 
     由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

分析

二分查找法应用于搜索平方根的思想很简单，其实就是“猜”，但是是有策略的“猜”，用“排除法”在有限的区间里，一次排除一半的区间元素，最后只剩下一个数，这个数就是题目要求的向下取整的平方根整数。

牛顿法最初提出的时候，是用于求解方程的根，它的基本思想是“以直代曲”，在迭代中搜索得到方程的近似解。

方法一：二分法

思路分析：使用二分法搜索平方根的思想很简单，就类似于小时候我们看的电视节目中的“猜价格”游戏，高了就往低了猜，低了就往高了猜，范围越来越小。因此，使用二分法猜算术平方根就很自然。

一个数的平方根肯定不会超过它自己，不过直觉还告诉我们，一个数的平方根最多不会超过它的一半，例如 8 的平方根，8 的一半是 4，4^2=16>8，如果这个数越大越是如此，因此我们要计算一下，这个边界是多少。为此，解如下不等式：

$\left(\cfrac{a}{2}\right)^2 \ge a$(2a​)2≥a

意即：如果一个数的一半的平方大于它自己，那么这个数的取值范围。解以上不等式得 $a \ge 4$a≥4或者a≤0。

于是边界值就是 4，那么对 0、1、2、3 分别计算结果，很容易知道，这 4 个数的平方根依次是 0、1、1、1。

注意：这 4个特值如果没有考虑到，有可能导致你设置的搜索边界不正确。在使用二分法寻找平方根的时候，要特别注意边界值的选择，以下给出两个参考代码。

参考代码 1：所有的数都放在一起考虑，为了照顾到 0 把左边界设置为 0，为了照顾到 1 把右边界设置为 x // 2 + 1。

public class Solution {

    public int mySqrt(int x) {
        // 注意：针对特殊测试用例，例如 2147395599
        // 要把搜索的范围设置成长整型
        // 为了照顾到 0 把左边界设置为 0
        long left = 0;
        // # 为了照顾到 1 把右边界设置为 x // 2 + 1
        long right = x / 2 + 1;
        while (left < right) {
            // 注意：这里一定取右中位数，如果取左中位数，代码会进入死循环
            // long mid = left + (right - left + 1) / 2;
            long mid = (left + right + 1) >>> 1;
            long square = mid * mid;
            if (square > x) {
                right = mid - 1;
            } else {
                left = mid;
            }
        }
        // 因为一定存在，因此无需后处理
        return (int) left;
    }

}

Java 代码要注意到：如果中点 mid 声明为 int 类型，针对大整型测试用例通不过，因此变量需要声明为 long 类型，下同。

参考代码 2：事实上，只要单独照顾一下 0这个特例就可以了。

public class Solution {

    public int mySqrt(int x) {
        if (x == 0) {
            return 0;
        }
        // 注意：针对特殊测试用例，例如 2147395599
        // 要把搜索的范围设置成长整型
        long left = 1;
        long right = x / 2;
        while (left < right) {
            // 注意：这里一定取右中位数，如果取左中位数，代码会进入死循环
            // long mid = left + (right - left + 1) / 2;
            long mid = (left + right + 1) >>> 1;
            long square = mid * mid;
            if (square > x) {
                right = mid - 1;
            } else {
                left = mid;
            }
        }
        // 因为一定存在，因此无需后处理
        return (int) left;
    }

}

注意： 这里二分法的使用是有技巧的（如果你没有意识到，这里很可能是个“坑”），下面我就上面注释中提到的：

注意：这里一定取右中位数，如果取左中位数，代码可能会进入死循环。

做一些解释。当 x = 9 的时候，我们不妨给“错误的”代码加上一些调试语句，这样你就会更清晰地发现死循环在什么时候出现，例如：

Python 代码：

class Solution:
    def mySqrt(self, x: int) -> int:
        if x == 0:
            return 0

        left = 1
        right = x // 2
        while left < right:
            # 调试代码开始：为了仔细观察区间左右端点，我们每进入一次循环，让线程休眠 1 秒
            import time
            time.sleep(1)
            print('调试代码，观察区间左右端点、中位数，和进入的分支： left = {} , right = {} , '.format(left, right), end='')
            # 调试代码结束

            # 错误代码，在分支左区间不发生收缩的情况下，中位数应该取右中位数
            # mid = left + (right - left) // 2
            mid = (left + right) >> 1
            # 调试代码
            print('mid = {} ,'.format(mid), end=' ')
            square = mid * mid

            if square > x:
                # 调试代码
                print('进入 right = mid - 1 这个分支。')
                right = mid - 1
            else:
                # 调试代码
                print('进入 left = mid 这个分支。')
                left = mid
        return left


if __name__ == '__main__':
    # 当 x = 8 的时候，代码能得出正确答案
    x = 9
    solution = Solution()
    res = solution.mySqrt(x)
    print(res)

控制台输出：

调试代码，观察区间左右端点、中位数，和进入的分支： left = 2 , right = 4 , mid = 3 , 进入 left = mid 这个分支。
调试代码，观察区间左右端点、中位数，和进入的分支： left = 3 , right = 4 , mid = 3 , 进入 left = mid 这个分支。
调试代码，观察区间左右端点、中位数，和进入的分支： left = 3 , right = 4 , mid = 3 , 进入 left = mid 这个分支。
调试代码，观察区间左右端点、中位数，和进入的分支： left = 3 , right = 4 , mid = 3 , 进入 left = mid 这个分支。
调试代码，观察区间左右端点、中位数，和进入的分支： left = 3 , right = 4 , mid = 3 , 进入 left = mid 这个分支。
Traceback (most recent call last):
  File "/Users/liwei/（按照惯例这里不让你们看，虽然真的没有什么秘密，就是皮一下子很开心啊有木有）/LeetCode-Solution-Python/17-二分查找/0069-x 的平方根-2（平方根）.py", line 37, in <module>
    res = solution.mySqrt(x)
  File "/Users/liwei/（按照惯例这里不让你们看，虽然真的没有什么秘密，就是皮一下子很开心啊有木有）/LeetCode-Solution-Python/17-二分查找/0069-x 的平方根-2（平方根）.py", line 11, in mySqrt
    time.sleep(1)
KeyboardInterrupt

分析：如果取中点为左中位数，你看到死循环发生在 left = 3， right = 4 的时候，此时区间只有 2 个元素。这是为什么呢？

此时索引区间 [3, 4] 的中位数为左中位数，即 mid = 3 ，此时 square = 9 < 9 不成立，进入 left = mid 这个分支，你发现问题了吗，区间不发生收缩，即下一轮循环的索引区间还是 [3, 4]，此时中位数还取左中位数，即 mid = 3 ，square = 9 < 9 不成立，又进入 left = mid 这个分支，死循环就是这样产生的。

接着，请你把 mid = left + (right - left) // 2 改成 mid = left + (right - left + 1) // 2 ，即选择右中位数，再观察一下控制台输出，就知道此时为什么要选右中位数了。

复杂度分析：

• 时间复杂度：O*(log*N)，二分法的时间复杂度是对数级别的。
• 空间复杂度：O(1)，使用了常数个数的辅助空间用于存储和比较。

总结： 使用二分查找法搜索，注意特值对搜索边界的影响。

以下这部分内容是根据与用户 @lukas 在本题解下的讨论而添加的。

在这里补充一下，如果你实在不太想分析 a 的平方根可能的上界，之前说了，它肯定不会超过 a 自己，即使你把上界写成一个很大的数，例如 999999999999，这个数必须得是力扣的测试用例都达不到的数，在二分查找的过程中，不符合要求的数每次会被很快砍掉一半。

参考代码 3：干脆我不讨论 a 的边界，让二分法去排除不符合的区间吧，对数级别的时间复杂度对性能不会有很大影响。

public class Solution {

    public int mySqrt(int x) {
        long left = 0;
        long right = Integer.MAX_VALUE;
        while (left < right) {
            // 这种取中位数的方法又快又好,偶数的话取第二位
            // 注意：这里得用无符号右移
            long mid = (left + right + 1) >>> 1;
            long square = mid * mid;
            if (square > x) {
                right = mid - 1;
            } else {
                left = mid;
            }
        }
        return (int) left;
    }
}

方法二：牛顿法

使用牛顿法可以得到一个正实数的算术平方根，因为题目中说“结果只保留整数部分”，因此，我们把使用牛顿法得到的浮点数转换为整数即可。

这里给出牛顿法的思想：

在迭代过程中，以直线代替曲线，用一阶泰勒展式（即在当前点的切线）代替原曲线，求直线与 xx 轴的交点，重复这个过程直到收敛。

说明：
1、以上图片来自《牛顿法与拟牛顿法》；

2、@LOAFER 的题解《牛顿迭代法》 的图和文字说明更好，而知乎问答《如何通俗易懂地讲解牛顿迭代法求开方？数值分析？》里面干货就更多了，建议大家出门左转观看，我这篇题解只是展示一下迭代公式如何计算。

注意：牛顿法得到的是平方根的浮点型精确值（可能会有一定误差），根据题目中的要求，把最后得到的这个数转换为 int 型，即去掉小数部分即可。

对“牛顿法”感兴趣的朋友们可以查一下牛顿法的应用：一个是求方程的根，另一个是求解最优化问题，在这里就不展开了。

参考代码 4：

public class Solution {

    public int mySqrt(int a) {
        long x = a;
        while (x * x > a) {
            x = (x + a / x) / 2;
        }
        return (int) x;
    }
}

说明：1e-6 是科学计数法，表示 11 乘以 10 的负 6 次方，也就是 0.000001。有的地方使用 epsilon$（\epsilon）$（ϵ）表示 1e-6 ，用来抵消浮点运算中因为误差造成的相等无法判断的情况，它通常是一个非常小的数字，具体多小要根据你的精度需求来设置。

复杂度分析：

• 时间复杂度：O*(log*x)，此方法是二次收敛的，相较于二分查找更快。
• 空间复杂度：O(1)O(1)，使用了常数个数的辅助空间用于存储和比较。