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线性代数学习笔记（十四）——分块矩阵

程序员文章站 2022-03-07 20:50:15
本篇笔记首先介绍了分块矩阵的概念，并介绍了按行或按列进行分块的两种常见分块方式，还讨论了矩阵标准形的主要基本特征，然后重点讨论了分块矩阵的几种运算，包括分块矩阵的和、差、数乘和乘积，以及对角型分块矩阵、三角分块矩阵和下三角分块矩阵的和、差、数乘和乘积，最后还介绍了分块矩阵转置和求逆的运算。...

本篇笔记首先介绍了分块矩阵的概念，并介绍了按行或按列进行分块的两种常见分块方式，还讨论了矩阵标准形的主要基本特征，然后重点讨论了分块矩阵的几种运算，包括分块矩阵的和、差、数乘和乘积，以及对角型分块矩阵、三角分块矩阵和下三角分块矩阵的和、差、数乘和乘积，最后还介绍了分块矩阵转置和求逆的运算。

1 基本概念

在计算或证明时为了方便，将矩阵进行分块。

定义：将一个矩阵用若干条横线和竖线分成许多个小矩阵，将每个小矩阵称为这个矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。——百度百科

[1134∣0−−−−−−2011∣01111∣34111∣0]=[A1A2A3A4]\begin{bmatrix}1&1&3&4&|&0\\-&-&-&-&-&-\\2&0&1&1&|&0\\1&1&1&1&|&3\\4&1&1&1&|&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_1&A_2\\A_3&A_4\end{bmatrix}

根据实际做题的方便性和需要灵活分块。

以下是错误分法：
[1∣13∣40∣−−−2∣0110−−−−−11∣11∣3−−−−−4∣11∣10]\begin{bmatrix}1&|&1&3&|&4&0\\&|&&&-&-&-\\2&|&0&1&&1&0\\&-&-&-&-&-&\\1&1&|&1&1&|&3\\&-&-&&-&-&-\\4&|&1&1&|&1&0\end{bmatrix}

要求：不管横线还是竖线，需要一气到头。

如果分块数量比较多，也可以使用以下方式表示：
[A11A12A21A22]\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}

2 两种常见的分块

2.1 按行分块

将每行进行分块。

[123−−−111−−−144]=[A1A2A3]\begin{bmatrix}1&2&3\\-&-&-\\1&1&1\\-&-&-\\1&4&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_1\\A_2\\A_3\end{bmatrix}

每一行构成一个列向量，向量将在后续章节介绍。
(α1α2α3)\begin{pmatrix}{\alpha}_1\\{\alpha}_2\\{\alpha}_3\end{pmatrix}

2.2 按列分块

将第列进行分块。

[1∣2∣31∣1∣11∣4∣4]=[B1B2B3]\begin{bmatrix}1&|&2&|&3\\1&|&1&|&1\\1&|&4&|&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}B_1&B_2&B_3\end{bmatrix}

每一列构成一个行向量，向量将在后续章节介绍。
(β1β2β3)\begin{pmatrix}{\beta}_1&{\beta}_2&{\beta}_3\end{pmatrix}

3 标准形

D=[1⋱10⋱0]m×nD=\begin{bmatrix}1&&&&&\\&\ddots&&&&\\&&1&&&\\&&&0&&\\&&&&\ddots&\\&&&&&0\end{bmatrix}_{m{\times}n}

最主要特征：从左上角开始一串连续的11，其余地方均为00。标准形不一定是方的。

判断以下矩不是准形：
[110]是[100001000010]是[1111]\begin{bmatrix}1&&\\&1&\\&&0\end{bmatrix}是\qquad\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}是\qquad\begin{bmatrix}1&&&\\&1&&\\&&1&\\&&&1\end{bmatrix}是

[011]不是[1101]不是[000]\begin{bmatrix}\color{red}{0}&&\\&1&\\&&1\end{bmatrix}不是\qquad\begin{bmatrix}1&&&\\&1&&\\&&\color{red}{0}&\\&&&1\end{bmatrix}不是\qquad\begin{bmatrix}0&&\\&0&\\&&0\end{bmatrix}是

可以对标准形进行分块：
D=[1∣⋱∣1∣−−−+−−−∣0∣⋱∣0]m×n=[ErOr×(n−r)O(m−r)×rO(n−r)×(n−r)]D=\begin{bmatrix}1&&&|&&&\\&\ddots&&|&&&\\&&1&|&&&\\-&-&-&+&-&-&-\\&&&|&0&&\\&&&|&&\ddots&\\&&&|&&&0\end{bmatrix}_{m{\times}n}=\begin{bmatrix}E_r&O_{r\times(n-r)}\\O_{(m-r){\times}r}&O_{(n-r)\times(n-r)}\end{bmatrix}

4 分块矩阵的运算

4.1 分块矩阵的和、差、数乘和乘积

① 分块矩阵加法（和减法）

[A1A2A3A4]+[B1B2B3B4]=[A1+B1A2+B2A3+B3A4+B4]\begin{bmatrix}A_1&A_2\\A_3&A_4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}B_1&B_2\\B_3&B_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_1+B_1&A_2+B_2\\A_3+B_3&A_4+B_4\end{bmatrix}

对应块分别相加，但需要确保对应块的形状保持一致。

② 数乘以分块矩阵

k[A1A2A3A4]=[kA1kA2kA3kA4]k\begin{bmatrix}A_1&A_2\\A_3&A_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}kA_1&kA_2\\kA_3&kA_4\end{bmatrix}

用这个数分别乘以矩阵的每一个子块。

③ 分块矩阵乘法

[A1A2A3A4][B1B2B3B4]=[A1B1+A2B3A1B2+A2B4A3B1+A4B3A3B2+A4B4]\begin{bmatrix}A_1&A_2\\A_3&A_4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}B_1&B_2\\B_3&B_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_1B_1+A_2B_3&A_1B_2+A_2B_4\\A_3B_1+A_4B_3&A_3B_2+A_4B_4\end{bmatrix}

将分块看成元素，即第一个矩阵行块与第二个矩阵列块对应先相乘再相加；
然后再对每个子块进行相乘。

分块矩阵能够相乘的前提条件：子块AikA_{ik}与BkjB_{kj}可乘。

例4：矩阵AA为m×nm{\times}n阶，矩阵BB为n×sn{\times}s阶，且B=[B1B2⋯Bt]B=\begin{bmatrix}B_1&B_2&\cdots&B_t\end{bmatrix}，求ABAB。
解：显然，AA和BB的每一个子块都可乘。
AB=A[B1B2⋯Bt]AB=A\begin{bmatrix}B_1&B_2&\cdots&B_t\end{bmatrix}
=[AB1AB2⋯ABt]=\begin{bmatrix}AB_1&AB_2&\cdots&AB_t\end{bmatrix}
错误理解：将外面的AA看作一个数直接乘进去；
正确理解：将AA看作只有一个块的分块矩阵。

4.2 几种分块矩阵

4.2.1 对角型分块矩阵

[A1A2⋱At]\begin{bmatrix}A_1&&&\\&A_2&&\\&&\ddots&\\&&&A_t\end{bmatrix}

只有主对角线上有不为零的块。

例5：已知对角型分块矩阵A=[A1A2⋱Ak]A=\begin{bmatrix}A_1&&&\\&A_2&&\\&&\ddots&\\&&&A_k\end{bmatrix}和B=[B1B2⋱Bk]B=\begin{bmatrix}B_1&&&\\&B_2&&\\&&\ddots&\\&&&B_k\end{bmatrix}，并且每个子块都是同阶方阵，求ABAB和A+BA+B。
解：AB=[A1A2⋱Ak][B1B2⋱Bk]AB=\begin{bmatrix}A_1&&&\\&A_2&&\\&&\ddots&\\&&&A_k\end{bmatrix}\begin{bmatrix}B_1&&&\\&B_2&&\\&&\ddots&\\&&&B_k\end{bmatrix}
=[A1B1A2B2⋱AkBk]=\begin{bmatrix}A_1B_1&&&\\&A_2B_2&&\\&&\ddots&\\&&&A_kB_k\end{bmatrix}

A+B=[A1A2⋱Ak]+[B1B2⋱Bk]A+B=\begin{bmatrix}A_1&&&\\&A_2&&\\&&\ddots&\\&&&A_k\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}B_1&&&\\&B_2&&\\&&\ddots&\\&&&B_k\end{bmatrix}
=[A1+B1A2+B2⋱Ak+Bk]=\begin{bmatrix}A_1+B_1&&&\\&A_2+B_2&&\\&&\ddots&\\&&&A_k+B_k\end{bmatrix}

4.2.2 上三角和下三角分块矩阵

类似地，可以定义上三角分块矩阵和下三角分块矩阵。

容易证明：同型的对角型分块矩阵、三角分块矩阵和下三角分块矩阵的和、差、数乘和乘积仍然是对角型分块矩阵、三角分块矩阵或下三角分块矩阵。

4.3 分块矩阵转置

④ 分块矩阵转置
A=[A1A2A3A4A5A6]A=\begin{bmatrix}A_1&A_2&A_3\\A_4&A_5&A_6\end{bmatrix}

(1) 把子块看作普通元素求转置；
(2) 对每个子块求转置。

AT=[A1TA4TA2TA5TA3TA6T]A^T=\begin{bmatrix}A_1^T&A_4^T\\A_2^T&A_5^T\\A_3^T&A_6^T\end{bmatrix}

4.4 分块矩阵求逆

⋆\star 例6：假设H=[ACOB]H=\begin{bmatrix}A&C\\O&B\end{bmatrix}是分块矩阵，并且AA和BB分别为mm阶和nn阶的可逆矩阵，试验证HH可逆，并求HH的逆矩阵。

分析：由题意可知：AA为mm阶的可逆方阵，BB为nn阶的可逆方阵，所以CC为m×nm{\times}n阶，OO为n×mn{\times}m阶。

证：行列式∣H∣=∣ACOB∣=∣A∣⋅∣B∣|H|=\begin{vmatrix}A&C\\O&B\end{vmatrix}=|A|\cdot|B|

错误理解：=∣AB−OC∣=∣A∣⋅∣B∣=|AB-OC|=|A|\cdot|B|
正确理解：使用拉普拉斯展开定理，取定后nn行展开，所以只能取后nn列得到的子式不为零（因为取到前面的列得到的子式都等于零），即要以理解为按子式∣B∣|B|展开，余子式为∣A∣|A|，故其值为：
=∣B∣(−1)行标+列标∣A∣=|B|(-1)^{行标+列标}|A|
=∣B∣(−1)[(m+1)+(m+2)+...+(m+n)]+[(m+1)+(m+2)+...+(m+n)]∣A∣=|B|(-1)^{[(m+1)+(m+2)+...+(m+n)]+[(m+1)+(m+2)+...+(m+n)]}|A|
=∣B∣(−1)2[(m+1)+(m+2)+...+(m+n)]∣A∣=|B|(-1)^{2[(m+1)+(m+2)+...+(m+n)]}|A|
=∣A∣∣B∣=|A||B|

又因为AA和BB均可逆，故∣A∣≠0|A|{\neq0}且∣B∣≠0|B|{\neq}0，
即：∣A∣⋅∣B∣≠0|A|\cdot|B|{\neq}0，
所以：HH可逆。

假设：H−1=[X1X3X4X2]H^{-1}=\begin{bmatrix}X_1&X_3\\X_4&X_2\end{bmatrix}

所以：HH−1=∣ACOB∣[X1X3X4X2]HH^{-1}=\begin{vmatrix}A&C\\O&B\end{vmatrix}\begin{bmatrix}X_1&X_3\\X_4&X_2\end{bmatrix}

=[AX1+CX4AX3+CX2BX4BX2]=[EOOE]=\begin{bmatrix}AX_1+CX_4&AX_3+CX_2\\BX_4&BX_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}E&O\\O&E\end{bmatrix}

所以：{AX1+CX4=EAX3+CX2=OBX4=OBX2=E\begin{cases}AX_1+CX_4=E\\AX_3+CX_2=O\\BX_4=O\\BX_2=E\end{cases}

错误理解：⟹B=O或X4=O\xcancel{\Longrightarrow}B=O或X_4=O；
正确做法：因为BB可逆，所以B−1BX4=B−1OB^{-1}BX_4=B^{-1}O，所以X4=OX_4=O。

错误理解：因为BX2=EBX_2=E，所以X2=EBX_2=\frac{E}{B}；
正确做法：根据逆矩阵推论，因为BX2=EBX_2=E，所以X2=B−1X_2=B^{-1}。

同理，将X4=OX_4=O代入AX1+CX4=EAX_1+CX_4=E可求出：X1=A−1X_1=A^{-1}，

将X2=B−1X_2=B^{-1}代入AX3+CX2=OAX_3+CX_2=O，得AX3=−CB−1AX_3=-CB^{-1}，故X3=−A−1CB−1X_3=-A^{-1}CB^{-1}。

所以：H−1=[A−1−A−1CB−1OB−1]\color{red}{H^{-1}=\begin{bmatrix}A^{-1}&-A^{-1}CB^{-1}\\O&B^{-1}\end{bmatrix}}

练习：假设H=[AOCB]H=\begin{bmatrix}A&O\\C&B\end{bmatrix}是分块矩阵，并且AA和BB分别为mm阶和nn阶的可逆矩阵，试验证HH可逆，并求HH的逆矩阵。
结论：H−1=[A−1O−B−1CA−1B−1]\color{red}{H^{-1}=\begin{bmatrix}A^{-1}&O\\-B^{-1}CA^{-1}&B^{-1}\end{bmatrix}}
证明：略。

推论：若AA和BB均可逆，则[AB]−1=[A−1B−1]\color{red}{\begin{bmatrix}A&\\&B\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}A^{-1}&\\&B^{-1}\end{bmatrix}}。

可以进行推广：若A1A_1、A2A_2 … AsA_s均可逆，
则[A1A2⋱Bs]−1=[A1−1A2−1⋱Bs−1]\color{red}{\begin{bmatrix}A_1&&&\\&A_2&&\\&&\ddots&\\&&&B_s\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}A_1^{-1}&&&\\&A_2^{-1}&&\\&&\ddots&\\&&&B_s^{-1}\end{bmatrix}}。

5 引用

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_2.5 分块矩阵

本文地址：https://blog.csdn.net/li2008kui/article/details/107301726

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