线性代数学习笔记（十四）——分块矩阵

本篇笔记首先介绍了分块矩阵的概念，并介绍了按行或按列进行分块的两种常见分块方式，还讨论了矩阵标准形的主要基本特征，然后重点讨论了分块矩阵的几种运算，包括分块矩阵的和、差、数乘和乘积，以及对角型分块矩阵、三角分块矩阵和下三角分块矩阵的和、差、数乘和乘积，最后还介绍了分块矩阵转置和求逆的运算。

1 基本概念

在计算或证明时为了方便，将矩阵进行分块。

定义：将一个矩阵用若干条横线和竖线分成许多个小矩阵，将每个小矩阵称为这个矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。——百度百科

$\begin{bmatrix}1&1&3&4&|&0\\-&-&-&-&-&-\\2&0&1&1&|&0\\1&1&1&1&|&3\\4&1&1&1&|&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_1&A_2\\A_3&A_4\end{bmatrix}$

根据实际做题的方便性和需要灵活分块。

以下是错误分法：
$\begin{bmatrix}1&|&1&3&|&4&0\\&|&&&-&-&-\\2&|&0&1&&1&0\\&-&-&-&-&-&\\1&1&|&1&1&|&3\\&-&-&&-&-&-\\4&|&1&1&|&1&0\end{bmatrix}$

要求：不管横线还是竖线，需要一气到头。

如果分块数量比较多，也可以使用以下方式表示：
$\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}$

2 两种常见的分块

2.1 按行分块

将每行进行分块。

$\begin{bmatrix}1&2&3\\-&-&-\\1&1&1\\-&-&-\\1&4&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_1\\A_2\\A_3\end{bmatrix}$

每一行构成一个列向量，向量将在后续章节介绍。
$\begin{pmatrix}{\alpha}_1\\{\alpha}_2\\{\alpha}_3\end{pmatrix}$

2.2 按列分块

将第列进行分块。

$\begin{bmatrix}1&|&2&|&3\\1&|&1&|&1\\1&|&4&|&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}B_1&B_2&B_3\end{bmatrix}$

每一列构成一个行向量，向量将在后续章节介绍。
$\begin{pmatrix}{\beta}_1&{\beta}_2&{\beta}_3\end{pmatrix}$

3 标准形

$D=\begin{bmatrix}1&&&&&\\&\ddots&&&&\\&&1&&&\\&&&0&&\\&&&&\ddots&\\&&&&&0\end{bmatrix}_{m{\times}n}$

最主要特征：从左上角开始一串连续的$1$，其余地方均为$0$。标准形不一定是方的。

判断以下矩不是准形：
$\begin{bmatrix}1&&\\&1&\\&&0\end{bmatrix}是\qquad\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}是\qquad\begin{bmatrix}1&&&\\&1&&\\&&1&\\&&&1\end{bmatrix}$是

$\begin{bmatrix}\color{red}{0}&&\\&1&\\&&1\end{bmatrix}不是\qquad\begin{bmatrix}1&&&\\&1&&\\&&\color{red}{0}&\\&&&1\end{bmatrix}不是\qquad\begin{bmatrix}0&&\\&0&\\&&0\end{bmatrix}$是

可以对标准形进行分块：
$D=\begin{bmatrix}1&&&|&&&\\&\ddots&&|&&&\\&&1&|&&&\\-&-&-&+&-&-&-\\&&&|&0&&\\&&&|&&\ddots&\\&&&|&&&0\end{bmatrix}_{m{\times}n}=\begin{bmatrix}E_r&O_{r\times(n-r)}\\O_{(m-r){\times}r}&O_{(n-r)\times(n-r)}\end{bmatrix}$

4 分块矩阵的运算

4.1 分块矩阵的和、差、数乘和乘积

① 分块矩阵加法（和减法）

$\begin{bmatrix}A_1&A_2\\A_3&A_4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}B_1&B_2\\B_3&B_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_1+B_1&A_2+B_2\\A_3+B_3&A_4+B_4\end{bmatrix}$

对应块分别相加，但需要确保对应块的形状保持一致。

② 数乘以分块矩阵

$k\begin{bmatrix}A_1&A_2\\A_3&A_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}kA_1&kA_2\\kA_3&kA_4\end{bmatrix}$

用这个数分别乘以矩阵的每一个子块。

③ 分块矩阵乘法

$\begin{bmatrix}A_1&A_2\\A_3&A_4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}B_1&B_2\\B_3&B_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_1B_1+A_2B_3&A_1B_2+A_2B_4\\A_3B_1+A_4B_3&A_3B_2+A_4B_4\end{bmatrix}$

将分块看成元素，即第一个矩阵行块与第二个矩阵列块对应先相乘再相加；
然后再对每个子块进行相乘。

分块矩阵能够相乘的前提条件：子块$A_{ik}$与$B_{kj}$可乘。

例4：矩阵$A$为$m{\times}n$阶，矩阵$B$为$n{\times}s$阶，且$B=\begin{bmatrix}B_1&B_2&\cdots&B_t\end{bmatrix}$，求$AB$。
解：显然，$A$和$B$的每一个子块都可乘。
$AB=A\begin{bmatrix}B_1&B_2&\cdots&B_t\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}AB_1&AB_2&\cdots&AB_t\end{bmatrix}$
错误理解：将外面的$A$看作一个数直接乘进去；
正确理解：将$A$看作只有一个块的分块矩阵。

4.2 几种分块矩阵

4.2.1 对角型分块矩阵

$\begin{bmatrix}A_1&&&\\&A_2&&\\&&\ddots&\\&&&A_t\end{bmatrix}$

只有主对角线上有不为零的块。

例5：已知对角型分块矩阵$A=\begin{bmatrix}A_1&&&\\&A_2&&\\&&\ddots&\\&&&A_k\end{bmatrix}$和$B=\begin{bmatrix}B_1&&&\\&B_2&&\\&&\ddots&\\&&&B_k\end{bmatrix}$，并且每个子块都是同阶方阵，求$AB$和$A+B$。
解：$AB=\begin{bmatrix}A_1&&&\\&A_2&&\\&&\ddots&\\&&&A_k\end{bmatrix}\begin{bmatrix}B_1&&&\\&B_2&&\\&&\ddots&\\&&&B_k\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}A_1B_1&&&\\&A_2B_2&&\\&&\ddots&\\&&&A_kB_k\end{bmatrix}$

$A+B=\begin{bmatrix}A_1&&&\\&A_2&&\\&&\ddots&\\&&&A_k\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}B_1&&&\\&B_2&&\\&&\ddots&\\&&&B_k\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}A_1+B_1&&&\\&A_2+B_2&&\\&&\ddots&\\&&&A_k+B_k\end{bmatrix}$

4.2.2 上三角和下三角分块矩阵

类似地，可以定义上三角分块矩阵和下三角分块矩阵。

容易证明：同型的对角型分块矩阵、三角分块矩阵和下三角分块矩阵的和、差、数乘和乘积仍然是对角型分块矩阵、三角分块矩阵或下三角分块矩阵。

4.3 分块矩阵转置

④ 分块矩阵转置
$A=\begin{bmatrix}A_1&A_2&A_3\\A_4&A_5&A_6\end{bmatrix}$

(1) 把子块看作普通元素求转置；
(2) 对每个子块求转置。

$A^T=\begin{bmatrix}A_1^T&A_4^T\\A_2^T&A_5^T\\A_3^T&A_6^T\end{bmatrix}$

4.4 分块矩阵求逆

$\star$ 例6：假设$H=\begin{bmatrix}A&C\\O&B\end{bmatrix}$是分块矩阵，并且$A$和$B$分别为$m$阶和$n$阶的可逆矩阵，试验证$H$可逆，并求$H$的逆矩阵。

分析：由题意可知：$A$为$m$阶的可逆方阵，$B$为$n$阶的可逆方阵，所以$C$为$m{\times}n$阶，$O$为$n{\times}m$阶。

证：行列式$|H|=\begin{vmatrix}A&C\\O&B\end{vmatrix}=|A|\cdot|B|$

错误理解：$=|AB-OC|=|A|\cdot|B|$
正确理解：使用拉普拉斯展开定理，取定后$n$行展开，所以只能取后$n$列得到的子式不为零（因为取到前面的列得到的子式都等于零），即要以理解为按子式$|B|$展开，余子式为$|A|$，故其值为：
$=|B|(-1)^{行标+列标}|A|$
$=|B|(-1)^{[(m+1)+(m+2)+...+(m+n)]+[(m+1)+(m+2)+...+(m+n)]}|A|$
$=|B|(-1)^{2[(m+1)+(m+2)+...+(m+n)]}|A|$
$=|A||B|$

又因为$A$和$B$均可逆，故$|A|{\neq0}$且$|B|{\neq}0$，
即：$|A|\cdot|B|{\neq}0$，
所以：$H$可逆。

假设：$H^{-1}=\begin{bmatrix}X_1&X_3\\X_4&X_2\end{bmatrix}$

所以：$HH^{-1}=\begin{vmatrix}A&C\\O&B\end{vmatrix}\begin{bmatrix}X_1&X_3\\X_4&X_2\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix}AX_1+CX_4&AX_3+CX_2\\BX_4&BX_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}E&O\\O&E\end{bmatrix}$

所以：$\begin{cases}AX_1+CX_4=E\\AX_3+CX_2=O\\BX_4=O\\BX_2=E\end{cases}$

错误理解：$\xcancel{\Longrightarrow}B=O或X_4=O$；
正确做法：因为$B$可逆，所以$B^{-1}BX_4=B^{-1}O$，所以$X_4=O$。

错误理解：因为$BX_2=E$，所以$X_2=\frac{E}{B}$；
正确做法：根据逆矩阵推论，因为$BX_2=E$，所以$X_2=B^{-1}$。

同理，将$X_4=O$代入$AX_1+CX_4=E$可求出：$X_1=A^{-1}$，

将$X_2=B^{-1}$代入$AX_3+CX_2=O$，得$AX_3=-CB^{-1}$，故$X_3=-A^{-1}CB^{-1}$。

所以：$\color{red}{H^{-1}=\begin{bmatrix}A^{-1}&-A^{-1}CB^{-1}\\O&B^{-1}\end{bmatrix}}$

练习：假设$H=\begin{bmatrix}A&O\\C&B\end{bmatrix}$是分块矩阵，并且$A$和$B$分别为$m$阶和$n$阶的可逆矩阵，试验证$H$可逆，并求$H$的逆矩阵。
结论：$\color{red}{H^{-1}=\begin{bmatrix}A^{-1}&O\\-B^{-1}CA^{-1}&B^{-1}\end{bmatrix}}$
证明：略。

推论：若$A$和$B$均可逆，则$\color{red}{\begin{bmatrix}A&\\&B\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}A^{-1}&\\&B^{-1}\end{bmatrix}}$。

可以进行推广：若$A_1$、$A_2$ … $A_s$均可逆，
则$\color{red}{\begin{bmatrix}A_1&&&\\&A_2&&\\&&\ddots&\\&&&B_s\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}A_1^{-1}&&&\\&A_2^{-1}&&\\&&\ddots&\\&&&B_s^{-1}\end{bmatrix}}$。

5 引用

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_2.5 分块矩阵

本文地址：https://blog.csdn.net/li2008kui/article/details/107301726