【NOIP 2008 提高组】传纸条

【题目】

传送门

题目描述：

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个 $m$m 行 $n$n 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标 $(1,1)$(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 $(m,n)$(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 $0$0 表示），可以用一个 $0-100$0−100 的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入格式：

输入文件的第一行有 $2$2 个用空格隔开的整数 $m$m 和 $n$n，表示班里有 $m$m 行 $n$n 列（$1≤m,n≤50$1≤m,n≤50）。
接下来的 $m$m 行是一个 $m*n$m∗n 的矩阵，矩阵中第 $i$i 行 $j$j 列的整数表示坐在第 $i$i 行 $j$j 列的学生的好心程度。每行的 $n$n 个整数之间用空格隔开。

输出格式：

输出文件共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

样例数据：

输入
3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

输出
34

备注：

【数据范围】
$30\%$30% 的数据满足：$1≤m,n≤10$1≤m,n≤10
$100\%$100% 的数据满足：$1≤m,n≤50$1≤m,n≤50

【分析】

其实这道题的意思就是从 $(1,1)$(1,1) 到 $(m,n)$(m,n) 选出两条互不重叠的路径，使得经过的权值和最大

简化版：

假设我们只用选一条权值最大的路，怎么做呢？

发现这就是一个基础的$dp$dp，用 $f[i][j]$f[i][j] 表示从 $(1,1)$(1,1) 到 $(i,j)$(i,j) 权值最大的路径

那么转移的时候就是 $f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1])+a[i][j]$f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i][j−1])+a[i][j]

最后的答案就是 $f[m][n]$f[m][n]

此题：

现在我们要选出两条互不重叠的路径，又该怎么办呢？

这个时候用一个四维的数组 $f[i][j][k][l]$f[i][j][k][l] 表示第一条路走到 $(i,j)$(i,j)，第二条路走到 $(k,l)$(k,l) 的最大值

我们发现 $f[i][j][k][l]$f[i][j][k][l] 可以从四个方向转移过来，就是以下的四种：

$(i-1,j,k-1,l)$(i−1,j,k−1,l)，$(i-1,j,k,l-1)$(i−1,j,k,l−1)，$(i,j-1,k-1,l)$(i,j−1,k−1,l)，$(i,j-1,k,l-1)$(i,j−1,k,l−1)

在这四种情况中取个最大值，然后加上 $a[i][j]$a[i][j]（如果 $(i,j)$(i,j)，$(k,l)$(k,l) 不是同一个点还要加上 $a[k][l]$a[k][l]）

时间复杂度：$O(n^4)$O(n4)，不过对于 $n≤50$n≤50 的数据已经是绰绰有余了

【代码】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 55
using namespace std;
int a[N][N],f[N][N][N][N];
void work(int i,int j,int k,int l)
{
	int Max=0;
	Max=max(Max,f[i-1][j][k-1][l]);
	Max=max(Max,f[i-1][j][k][l-1]);
	Max=max(Max,f[i][j-1][k-1][l]);
	Max=max(Max,f[i][j-1][k][l-1]);
	f[i][j][k][l]=Max+a[i][j];
	if(i!=k||j!=l)
	    f[i][j][k][l]+=a[k][l];
}
int main()
{
	int m,n,i,j,k,l;
	scanf("%d%d",&m,&n);
	for(i=1;i<=m;++i)
	    for(j=1;j<=n;++j)
	        scanf("%d",&a[i][j]);
	for(i=1;i<=m;++i)
	    for(j=1;j<=n;++j)
	        for(k=1;k<=m;++k)
	            for(l=1;l<=n;++l)
	                work(i,j,k,l);
	printf("%d",f[m][n][m][n]);
	return 0;
}