洛谷 P2678 & [NOIP2015提高组] 跳石头
题目链接
https://www.luogu.org/problemnew/show/p2678
题目背景
一年一度的“跳石头”比赛又要开始了!
题目描述
这项比赛将在一条笔直的河道中进行，河道中分布着一些巨大岩石。组委会已经选择好了两块岩石作为比赛起点和终点。在起点和终点之间，有 n 块岩石（不含起点和终点的岩石）。在比赛过程中，选手们将从起点出发，每一步跳向相邻的岩石，直至到达终点。
为了提高比赛难度，组委会计划移走一些岩石，使得选手们在比赛过程中的最短跳跃距离尽可能长。由于预算限制，组委会至多从起点和终点之间移走 m 块岩石（不能移走起点和终点的岩石）。
输入输出格式
输入格式：
第一行包含三个整数 l,n,m，分别表示起点到终点的距离，起点和终点之间的岩石数，以及组委会至多移走的岩石数。保证 l≥1且 n≥m≥0。
接下来 n 行，每行一个整数，第 i 行的整数 di(0<di<l)， 表示第 i 块岩石与起点的距离。这些岩石按与起点距离从小到大的顺序给出，且不会有两个岩石出现在同一个位置。
输出格式：
一个整数，即最短跳跃距离的最大值。
输入输出样例
输入样例：
25 5 2 2 11 14 17 21
输出样例：
4
说明
输入输出样例 1 说明：将与起点距离为 2和 14 的两个岩石移走后,最短的跳跃距离为 4(从与起点距离 17 的岩石跳到距离 21 的岩石,或者从距离 21 的岩石跳到终点)。
另：对于 20%的数据,0≤m≤n≤10。
对于50%的数据,0≤m≤n≤100。
对于 100%的数据,0≤m≤n≤50,000,1≤l≤1,000,000,000。
解题思路
首先看一下数据范围，发现暴力枚举时间肯定会炸(除非你只是想拿部分分)，所以这里我们要用到一个新的算法——二分答案。
什么叫二分答案呢？？
顾名思义，二分答案就是把一组数据每次分成两部分，就是把大问题转化成小问题。例如猜数游戏，猜1-100的一个数，就先猜50，若小了，就猜75，若大了，就猜25，就这样一直猜下去，最终找到答案。
而我们每一次猜的这个答案就是所求范围内的数据的中间数据，这就是二分答案。这个二分的中间数据就是指要求的内容。
二分答案需要满足一个什么样的性质呢？
- 有一个确定的范围
- 答案只有一个
- 答案必须满足单调性（连续上升或下降）
二分的两种形式：
上文是介绍对细节的处理。
此题解法：
搞明白二分答案后，我们就来看看这道经典题目。
一眼看到题目中的这一句话：使得选手们在比赛过程中的最短跳跃距离尽可能长，当出现最小值最大或最大值最小或求最大值、最小值时，就可以考虑一下二分了。
很显然，这道题我们求的是最短距离，所以我们二分的就是最短距离。
首先验证答案具有单调性：拿走的石头越多，最短跳跃距离越大，这就叫答案的单调性。
然后进行实现。我们假设最短跳跃距离为mid，那么显然0<mid<l，所以我们就先让左端点l=0，右端点r=l，每次mid取中间值mid=(l+r+1)>>1，这里采用的是第二种形式。接着我们写一个check函数，判断一下这个mid是否合法，如果合法，就尝试找一找有没有一个值比mid更大（l=mid），如果不合法，就把mid减小（r=mid-1）。
那check函数怎么写呢？我们遍历一遍每一块石头，累计出有多少块石头之间的间隔<=mid,如果超过m个，就不合法，如果小于等于m，就合法。、
具体看代码。
1 #include<iostream>
2 using namespace std;
3 int n,m,l;
4 int a[50005];
5 bool check(int x){ //check函数判断这个最短跳跃距离x是否合法
6 int last=0; //last表示的是上一块石头的位置
7 int cnt=0; //cnt用来计数
8 for(int i=1;i<=n+1;i++) { //枚举每一块石头
9 if(a[i]-last<x) cnt++; //如果这一块石头和上一块石头的距离比x小,计数+1。而且如果石头移走，last还是上一块石头的位置。
10 else last=a[i]; //否则这块石头就不必移走，last=这块石头的位置。
11 }
12 if(cnt>m) return 0; //cnt如果超过m个，就不合法。
13 else return 1; //cnt如果小于等于m，就合法。
14 }
15 int main()
16 {
17 cin>>l>>n>>m;
18 for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
19 a[n+1]=l; //注意这个一共有n+2块石头(起点和终点)
20 int l=1,r=l; //注意l和r都是最短跳跃距离的边界，而不是石头的边界。
21 while(l<r){
22 int mid=(l+r+1)>>1; //取中点，用的是第二种形式。
23 if(check(mid)) l=mid; //分别处理
24 else r=mid-1;
25 }
26 cout<<l; //退出循环后一定是l==r，所以输出什么都可以。
27 return 0;
28 }