约数之和

题目描述

假设现在有两个自然数A和B，S是A B的所有约数之和。
请你求出S mod 9901的值是多少。

输入格式

在一行中输入用空格隔开的两个整数A和B。

输出格式

输出一个整数，代表S mod 9901的值。

数据范围

0 ≤ A,B ≤ 5×10 ^ 7

输入样例：

2 3

输出样例：

15

注意: A和B不会同时为0。
题解：

公式推导：

第一步，质因数分解：由算术基本定理得任意一个数A = p1 ^ k1 * p2 ^ k2 * … * pn ^ kn。（其中p1-pn为A所有的质因数），则 A ^ B = p1 ^ k1*B * p2 ^ k2 * B * … * pn^kn * B。

第二步（补充），因子个数，设x为A的一个约数，则A必定可由若干个p1-pn相乘得到，对于任一个质因子pi，可为其他因子贡献的数量为从0到ki，共1+ki个。由乘法原理得，数A所有的因子个数为C = （k1+1） * (k2+1) * … * (kn + 1).
第三步，因子和，设Sn = （p1 ^ 0 + p1 ^ 1 + … + p1 ^ k1）* （p2 ^ 0 + p2 ^1 + … + p2 ^ k2）* … * （pn ^ 0 + pn ^ 1 + … + pn^kn）,展开可得到C项，每一项都是A的因子。
第四步，公式推导，设sum(p,k) = p ^ 0 + p ^ 1 + … + p ^ k. 一共k+1项，我们对k分类讨论，k为奇数时，k+1为偶数，例如k = 7，sum(p,7) = (p ^ 0 + p ^ 1 + p ^ 2 + p ^ 3 ) + (p ^ 4 + p ^ 5 + p ^ 6 + p^7)
我们对其分成数量相等的两组式子，又p ^ 4 + p ^ 5 + p ^ 6 + p ^ 7 = p^4 * (p^0 + p^1 + p^2 + p^3 ),所以sum(p,7) = (p^0 + p^1 + p^2 + p^3 ) * (1 + p ^ 4).更一般的，sum(p,k) = (p ^ 0 + p ^ 1 + … + p^k/2 ) * (1 + p^(k/2+1) ) = sum(p,k/2) * (1 + p^(k/2+1) ) ，其中k为奇数.
k为偶数时，k+1为奇数，sum(p,k) = p ^ 0 + p ^ 1 + … + p^k = 1 + p * (p^0 + p ^1 + … + p^(k-1) ) = 1 + p * sum(p,k-1).
当然，最后需要注意的是，我们求A^B的约数和时，调用的sum（p，k），k应该是第一步推导的kB。并且k为奇数时，我们求幂可以使用快速幂算法。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int mod = 9901;
int kum(int a,int b)  //快速幂
{
    a %= mod;
    int ans = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans = ans * a % mod;
        b >>= 1;
        a = a * a % mod;
    }
    return ans;
}
int sum(int p, int k)  //公式递推
{
    if(k == 0) return 1;
    if(k % 2 == 0)return (1 + p % mod * sum(p, k - 1)) % mod;
    return (1 + kum(p, k/2 + 1)) * sum(p, k/2) % mod;
}
int main()
{
    int a, b;
    cin >> a >> b;
    int res = 1;
    for(int i = 2; i <=a; i++){
        int s = 0;
        while(a % i == 0){  //找出有几个质因数
            s++;
            a/=i;
        }
        if(s) res = res * sum(i, s * b) % mod;  
    }
    if(!a)res = 0;
    cout << res << endl;
    return 0;
}