UVa-679 Dropping Balls（二叉树的编号）

题目描述如下：

有一棵二叉树，最大深度为D，且所有叶子的深度都相同。所有结点从上到下从左到右 编号为1, 2, 3,…, 2D-1。在结点1处放一个小球，它会往下落。每个内结点上都有一个开关， 初始全部关闭，当每次有小球落到一个开关上时，状态都会改变。当小球到达一个内结点 时，如果该结点上的开关关闭，则往左走，否则往右走，直到走到叶子结点，如图6-2所 示：

一些小球从结点1处依次开始下落，最后一个小球将会落到哪里呢？输入叶子深度D和 小球个数I，输出第I个小球最后所在的叶子编号。假设I不超过整棵树的叶子个数。D≤20。 输入最多包含1000组数据。
样例输入：

5
4 2
3 4
10 1
2 2
8 128
-1
样例输出：
12
7
512
3
255
 

有个结论非常重要，对于一个结点k，其左子结点和右子结点的编号分别为2k和2k+1。

思路一（超时）：遍历每一个小球下落的情况，用一个布尔数组模拟开关，代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fast                                ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define ll                                  long long
#define _for(i,a,b)                         for(int i = a;i < b;i++)
#define rep(i,a,b)                          for(int i = a;i <= b;i++)
#define all(s)                              s.begin(), s.end()

int kase, D, I;
bool kg[1 << 20];

int main()
{
	while(scanf("%d", &kase)!=EOF&&kase>=0)
	while (kase--)
	{
		scanf("%d%d", &D, &I);
		memset(kg, 0, sizeof(kg));
		int en = (1 << D) - 1;//最后一个结点
		int pos;
		_for(i, 0, I)
		{
			pos = 1;//初始位置
			for(;;)
			{
				kg[pos] = !kg[pos];
				pos = (kg[pos]) ? pos * 2 : pos * 2 + 1;
				if (pos > en)break;
			}
		}
		printf("%d\n", pos/2);
	}
	return 0;
}

超时原因：I最大为叶子个数，也就是2^19-1个，而D最大为20，每组测试数据时间复杂度最大为(2^19-1)*20，并且输入可能有1000组数据。

思路二（AC）：第a个小球只需对a奇偶性进行判断，然后每掉落一层更新一次a，判断奇偶性，直到到达叶子结点。

以题目中的i为例，当i是奇数时，它是往左走的第(i+1)/2个球，当i是偶数时，它是往右走的第i/2个球。我们只需每层更新i即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fast                                ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define ll                                  long long
#define _for(i,a,b)                         for(int i = a;i < b;i++)
#define rep(i,a,b)                          for(int i = a;i <= b;i++)
#define all(s)                              s.begin(), s.end()

int kase,D, I;

int main()
{
	scanf("%d", &kase);
	while (1) 
	{
		scanf("%d", &D);
		if (D == -1) break;
		scanf("%d", &I);
		int k = 1;
		for (int i = 0; i < D - 1; i++) {//直接判断最后一个
			if (I % 2) {
				k = k * 2;
				I = (I + 1) / 2;
			}
			else {
				k = k * 2 + 1;
				I /= 2;
			}
		}
		printf("%d\n", k);
	}

	return 0;
}