[题记]序列计数-蓝桥杯

题目：序列计数

【问题描述】
小明想知道，满足以下条件的正整数序列的数量：
1. 第一项为 n；
2. 第二项不超过 n；
3. 从第三项开始，每一项小于前两项的差的绝对值。
请计算，对于给定的 n，有多少种满足条件的序列。

【输入格式】
输入一行包含一个整数 n。
【输出格式】
输出一个整数，表示答案。答案可能很大，请输出答案除以10000的余数。

【样例输入】
4
【样例输出】
7
【样例说明】
以下是满足条件的序列：
4 1
4 1 1
4 1 2
4 2
4 2 1
4 3
4 4
【评测用例规模与约定】
对于 20% 的评测用例，1 <= n <= 5；
对于 50% 的评测用例，1 <= n <= 10；
对于 80% 的评测用例，1 <= n <= 100；
对于所有评测用例，1 <= n <= 1000。

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思路：记忆化递归

从题目第三点可以得出递归公式：

　　f(old，now)的意思是一old为之前的元素，now为当前的元素的序列总和。

　　f(old,now) = f(now, 1) + .... + f(now,|old-now|-1) + 1;

　　

　　由此我们根据2，3条件得出：f(old，now)的序列总和 = 1 + f( old, now -1 ) + f( now, | old - now | - 1 );

 

由此得出代码(c)：

　　

#include <stdio.h>
#include <math.h>
int hx[1001][1001] = {0};

long long int dfs( int old, int now ) {

    if( now <= 0 ) return 0;
    if( hx[old][now] != 0 ) return hx[old][now]; 
//    从第三项开始每一项小于前两项的差的绝对值，即从1到fabs(old-now)-1
//    以old和now开头的序列，总共有：自己+ now < old的+ 第三项开始符合条件的 
    hx[old][now] = ( 1+dfs(old,now-1)+dfs(now,fabs(old-now)-1) )%10000;
    return hx[old][now];
}

int main(){
    int num;
    scanf("%d",&num);
    printf("%i64d",dfs(num,num));
    return 0;
}

//从第三项开始，符合递归式： 
//f(old,now) = f(now, 1) + .... + f(now,|old-now|-1) + 1;
//                ★从1到old和now的绝对值-1 在加上自己 

 

2020-03-25-20:57:01