[清华集训2017] 生成树计数
分析
一类树(连出的边数集合一定)的贡献
\[
\mathbb{ans}(\{d_n\}|\sum_id_i=2(n-1))=\prod_ia_i^{d_i}\prod_id_i^m\sum_{i}d_i^m
\]
引入prufer序列,设\(d_i\)为点(联通块)在序列中出现的次数,转换
\[
\begin{aligned}
\mathbb{ans}(\{d_n\}|\sum_{i}d_i=n-2)
&=\prod_ia_i^{d_i+1}\prod_i{(d_i+1)^m}\sum_{i}(d_i+1)^m\\
&=\prod_ia_i^{d_i+1}(d_i+1)^m\sum_{i}(d_i+1)^m\\
\end{aligned}
\]
那么枚举所有的prufer的组合,总答案
\[
\begin{aligned}
\mathbb{ans}
&=\sum_{\sum_id_i=n-2}\frac{(n-2)!}{\prod_id_i!}\prod_ia_i^{d_i+1}(d_i+1)^m\sum_{i}(d_i+1)^m\\
&=(n-2)!\prod_ia_i\sum_{\sum_id_i=n-2}\prod_i\frac{a_i^{d_i}(d_i+1)^m}{d_i!}\sum_i(d_i+1)^{m}\\
&=(n-2)!\prod_ia_i(\sum_{\sum_id_i=n-2}\sum_i\frac{a_i^{d_i}(d_i+1)^{2m}}{d_i!}\prod_{i\not=j}\frac{a_j^{d_i}(d_j+1)^m}{a_j!})
\end{aligned}
\]
g8麻烦……请出生成函数
\[
a(x)=\sum_i\frac{x^i(i+1)^{2m}}{i!}\\
b(x)=\sum_i\frac{x^i(i+1)^m}{i!}\\
f(x)=\sum_ia(a_ix)\prod_{i\not=j}b(a_jx)
\]
注意到\([n-2]f(x)\)正是\(\mathbb{ans}\)中非常数部分(括号注明部分)。于是需要处理\(f(x)\)
\[
f(x)=\sum_i\frac{a(a_ix)}{b(a_ix)}\prod_{i}b(a_ix)=\sum_i\frac{a(a_ix)}{b(a_ix)}\exp(\sum_{i}\ln(b(a_ix)))
\]
在\(\ln\exp\)中视\(a_ix\)整体为变量,处理\(\frac{a(x)}{b(x)}\)和\(\ln(b(x))\)的系数,再用\(a_ix\)代换\(x\),求出\(\sum\frac{a(a_ix)}{b(a_ix)}\)以及\(\sum\ln(b(a_ix))\)。
这两个过程本质相同:和函数\(\sum\)的第\(i\)向系数是单个函数的\(i\)项系数(常量)乘上\(\sum_ka_k^i\)。
于是涉及到一个序列的幂和,它的生成函数
\[
f(x)=\sum_i\sum_ja_j^ix^i=\sum_i\sum_j(a_ix)^j=\sum_i\frac{1}{1-a_ix}\\
g(x)=\sum_i\ln(\frac{1}{1-a_ix})=\sum_i\frac{-a_i}{1-a_ix}=-\sum_i\sum_ja_i^{j+1}x^j\\
f(x)=n-x\times g(x)\\
g(x)=\sum_i\ln((1-a_ix)^{-1})=-\ln(\prod_i1-a_ix)
\]
关于这个\(\ln\)视\(x\)为变量而非\(a_ix\),于是分治fft处理\(g(x)\),设\(l\)为不小于\(n\)的2的幂,可以粗略的估计为复杂度
\[
\sum_d^{\log l}\frac{l}dd\log d=l\sum_d^{\log l}\log d=l\log(\log(l)!)
\]
打表发现\(\log(\log(l)!)\)较\(\log(l)\)略大,远小于\(\log^2\)所在规模,于是近似认为复杂度为\(o(n\log n)\)
最后慢慢推回去……
实现
有很多波折……目前洛谷rank1
#include <bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; const int n=200000; const int mod=998244353; inline int qpow(int x,int y) { int c=1; for(; y; y>>=1,x=(ll)x*x%mod) if(y&1) c=(ll)c*x%mod; return c; } //------- polynomial begin ------- int w[n],rev[n],_inv[n],lmt; inline void predone(int len) { int l=0; lmt=1; _inv[1]=1; while(lmt<=len) lmt<<=1,l++; for(int i=0; i<lmt; ++i) { rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1)); if(i>1) _inv[i]=(ll)_inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod; } int wlmt=qpow(3,(mod-1)>>l),tmp=lmt>>1; w[tmp]=1; for(int i=tmp+1; i<lmt; ++i) w[i]=(ll)w[i-1]*wlmt%mod; for(int i=tmp-1; i>0; --i) w[i]=w[i<<1]; lmt=l; } inline void dft(int a[],int len) { static unsigned long long tmp[n]; int u=lmt-__builtin_ctz(len),t; for(int i=0; i<len; ++i) tmp[rev[i]>>u]=a[i]; for(int m=1; m<len; m<<=1) for(int i=0,s=m<<1; i<len; i+=s) for(int j=0; j<m; ++j) t=tmp[i+j+m]*w[m+j]%mod,tmp[i+j+m]=tmp[i+j]+mod-t,tmp[i+j]+=t; for(int i=0; i<len; ++i) a[i]=tmp[i]%mod; } inline void idft(int a[],int len) { reverse(a+1,a+len); dft(a,len); ll t=mod-(mod-1)/len; for(int i=0; i<len; ++i) a[i]=t*a[i]%mod; } inline int getlen(int len) { return 1<<(32-__builtin_clz(len)); } inline void getder(int a[],int b[],int n) { for(int i=0; i<n-1; ++i) b[i]=(ll)(i+1)*a[i+1]%mod; b[n-1]=0; } inline void getint(int a[],int b[],int n) { for(int i=n-1; i>0; --i) b[i]=(ll)_inv[i]*a[i-1]%mod; b[0]=0; } inline void getinv(int a[],int b[],int n) { static int tmp[n]; if(n==1) {b[0]=qpow(a[0],mod-2); return;} getinv(a,b,(n+1)>>1); int len=getlen(n<<1); for(int i=0; i<n; ++i) tmp[i]=a[i]; for(int i=n; i<len; ++i) tmp[i]=0; dft(tmp,len); dft(b,len); for(int i=0; i<len; ++i) b[i]=(ll)b[i]*(2+mod-(ll)b[i]*tmp[i]%mod)%mod; idft(b,len); for(int i=n; i<len; ++i) b[i]=0; } inline void getln(int a[],int b[],int n) { static int tmp[n]; getinv(a,tmp,n); getder(a,b,n); int len=getlen(n<<1); dft(tmp,len); dft(b,len); for(int i=0; i<len; ++i) tmp[i]=(ll)b[i]*tmp[i]%mod; idft(tmp,len); getint(tmp,b,n); for(int i=n; i<len; ++i) b[i]=0; for(int i=0; i<len; ++i) tmp[i]=0; } inline void getexp(int a[],int b[],int n) { static int tmp[n]; if(n==1) {b[0]=1; return;} getexp(a,b,(n+1)>>1); getln(b,tmp,n); int len=getlen(n<<1); for(int i=0; i<n; ++i) tmp[i]=((i==0)+mod-tmp[i]+a[i])%mod; for(int i=n; i<len; ++i) tmp[i]=0; dft(tmp,len); dft(b,len); for(int i=0; i<len; ++i) b[i]=(ll)tmp[i]*b[i]%mod; idft(b,len); for(int i=n; i<len; ++i) b[i]=0; for(int i=0; i<len; ++i) tmp[i]=0; } //------- polynomial end ------- int n,m,con,a[n],d[20][n]; void solve(int l,int r,int p) { if(l==r) { d[p][0]=1; d[p][1]=mod-a[l]; return; } int mid=(l+r)>>1; solve(l,mid,p); solve(mid+1,r,p+1); int len=getlen(r-l+1); for(int i=mid-l+2; i<len; ++i) d[p][i]=0; for(int i=r-mid+1; i<len; ++i) d[p+1][i]=0; dft(d[p],len); dft(d[p+1],len); for(int i=0; i<len; ++i) d[p][i]=(ll)d[p][i]*d[p+1][i]%mod; idft(d[p],len); } int fc[n],fv[n]; int s[n],a[n],b[n],p[n],q[n]; int main() { //freopen("filename.in","r",stdin); fc[0]=fc[1]=fv[0]=fv[1]=1; for(int i=2; i<n; ++i) fv[i]=(ll)fv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod; for(int i=2; i<n; ++i) fv[i]=(ll)fv[i-1]*fv[i]%mod; for(int i=2; i<n; ++i) fc[i]=(ll)fc[i-1]*i%mod; scanf("%d%d",&n,&m); predone((n+1)*4); con=fc[n-2]; for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d",a+i),con=(ll)con*a[i]%mod; solve(1,n,0); getln(d[0],s,getlen(n)); //改成二的幂次似乎能缓解数组清空问题…… s[0]=n; for(int i=1; i<=n; ++i) s[i]=(mod-(ll)s[i]*i%mod)%mod; for(int i=0; i<=n-2; ++i) { a[i]=(ll)fv[i]*qpow(i+1,2*m)%mod; b[i]=(ll)fv[i]*qpow(i+1,m)%mod; } getinv(b,p,n-1); getln(b,q,n-1); int len=getlen(n<<1); dft(a,len); dft(p,len); for(int i=0; i<len; ++i) p[i]=(ll)a[i]*p[i]%mod; idft(p,len); for(int i=n-1; i<len; ++i) p[i]=0; for(int i=0; i<=n-2; ++i) { p[i]=(ll)p[i]*s[i]%mod; q[i]=(ll)q[i]*s[i]%mod; } memset(b,0,sizeof b); //这儿也是…… getexp(q,b,n-1); dft(p,len); dft(b,len); for(int i=0; i<len; ++i) p[i]=(ll)p[i]*b[i]%mod; idft(p,len); printf("%lld\n",(ll)con*p[n-2]%mod); return 0; }
上一篇: 母版和继承的使用以及组件的使用