[清华集训2017] 生成树计数

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分析

一类树（连出的边数集合一定）的贡献
\[ \mathbb{ans}(\{d_n\}|\sum_id_i=2(n-1))=\prod_ia_i^{d_i}\prod_id_i^m\sum_{i}d_i^m \]
引入prufer序列，设\(d_i\)为点（联通块）在序列中出现的次数，转换
\[ \begin{aligned} \mathbb{ans}(\{d_n\}|\sum_{i}d_i=n-2) &=\prod_ia_i^{d_i+1}\prod_i{(d_i+1)^m}\sum_{i}(d_i+1)^m\\ &=\prod_ia_i^{d_i+1}(d_i+1)^m\sum_{i}(d_i+1)^m\\ \end{aligned} \]
那么枚举所有的prufer的组合，总答案
\[ \begin{aligned} \mathbb{ans} &=\sum_{\sum_id_i=n-2}\frac{(n-2)!}{\prod_id_i!}\prod_ia_i^{d_i+1}(d_i+1)^m\sum_{i}(d_i+1)^m\\ &=(n-2)!\prod_ia_i\sum_{\sum_id_i=n-2}\prod_i\frac{a_i^{d_i}(d_i+1)^m}{d_i!}\sum_i(d_i+1)^{m}\\ &=(n-2)!\prod_ia_i(\sum_{\sum_id_i=n-2}\sum_i\frac{a_i^{d_i}(d_i+1)^{2m}}{d_i!}\prod_{i\not=j}\frac{a_j^{d_i}(d_j+1)^m}{a_j!}) \end{aligned} \]
g8麻烦……请出生成函数
\[ a(x)=\sum_i\frac{x^i(i+1)^{2m}}{i!}\\ b(x)=\sum_i\frac{x^i(i+1)^m}{i!}\\ f(x)=\sum_ia(a_ix)\prod_{i\not=j}b(a_jx) \]
注意到\([n-2]f(x)\)正是\(\mathbb{ans}\)中非常数部分（括号注明部分）。于是需要处理\(f(x)\)
\[ f(x)=\sum_i\frac{a(a_ix)}{b(a_ix)}\prod_{i}b(a_ix)=\sum_i\frac{a(a_ix)}{b(a_ix)}\exp(\sum_{i}\ln(b(a_ix))) \]
在\(\ln\exp\)中视\(a_ix\)整体为变量，处理\(\frac{a(x)}{b(x)}\)和\(\ln(b(x))\)的系数，再用\(a_ix\)代换\(x\)，求出\(\sum\frac{a(a_ix)}{b(a_ix)}\)以及\(\sum\ln(b(a_ix))\)。

这两个过程本质相同：和函数\(\sum\)的第\(i\)向系数是单个函数的\(i\)项系数（常量）乘上\(\sum_ka_k^i\)。

于是涉及到一个序列的幂和，它的生成函数
\[ f(x)=\sum_i\sum_ja_j^ix^i=\sum_i\sum_j(a_ix)^j=\sum_i\frac{1}{1-a_ix}\\ g(x)=\sum_i\ln(\frac{1}{1-a_ix})=\sum_i\frac{-a_i}{1-a_ix}=-\sum_i\sum_ja_i^{j+1}x^j\\ f(x)=n-x\times g(x)\\ g(x)=\sum_i\ln((1-a_ix)^{-1})=-\ln(\prod_i1-a_ix) \]
关于这个\(\ln\)视\(x\)为变量而非\(a_ix\)，于是分治fft处理\(g(x)\)，设\(l\)为不小于\(n\)的2的幂，可以粗略的估计为复杂度
\[ \sum_d^{\log l}\frac{l}dd\log d=l\sum_d^{\log l}\log d=l\log(\log(l)!) \]
打表发现\(\log(\log(l)!)\)较\(\log(l)\)略大，远小于\(\log^2\)所在规模，于是近似认为复杂度为\(o(n\log n)\)

最后慢慢推回去……

实现

有很多波折……目前洛谷rank1

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

const int n=200000;
const int mod=998244353;

inline int qpow(int x,int y) {
    int c=1;
    for(; y; y>>=1,x=(ll)x*x%mod) if(y&1) c=(ll)c*x%mod;
    return c;
}

//------- polynomial begin -------
int w[n],rev[n],_inv[n],lmt;
inline void predone(int len) {
    int l=0; lmt=1; _inv[1]=1;
    while(lmt<=len) lmt<<=1,l++;
    for(int i=0; i<lmt; ++i) {
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
        if(i>1) _inv[i]=(ll)_inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
    }
    int wlmt=qpow(3,(mod-1)>>l),tmp=lmt>>1; w[tmp]=1;
    for(int i=tmp+1; i<lmt; ++i) w[i]=(ll)w[i-1]*wlmt%mod;
    for(int i=tmp-1; i>0; --i) w[i]=w[i<<1];
    lmt=l;
}
inline void dft(int a[],int len) {
    static unsigned long long tmp[n];
    int u=lmt-__builtin_ctz(len),t;
    for(int i=0; i<len; ++i) tmp[rev[i]>>u]=a[i];
    for(int m=1; m<len; m<<=1)
    for(int i=0,s=m<<1; i<len; i+=s)
    for(int j=0; j<m; ++j)
        t=tmp[i+j+m]*w[m+j]%mod,tmp[i+j+m]=tmp[i+j]+mod-t,tmp[i+j]+=t;
    for(int i=0; i<len; ++i) a[i]=tmp[i]%mod;
}
inline void idft(int a[],int len) {
    reverse(a+1,a+len); dft(a,len);
    ll t=mod-(mod-1)/len; 
    for(int i=0; i<len; ++i) a[i]=t*a[i]%mod;
}
inline int getlen(int len) {
    return 1<<(32-__builtin_clz(len));
}
inline void getder(int a[],int b[],int n) {
    for(int i=0; i<n-1; ++i) b[i]=(ll)(i+1)*a[i+1]%mod; b[n-1]=0;
}
inline void getint(int a[],int b[],int n) {
    for(int i=n-1; i>0; --i) b[i]=(ll)_inv[i]*a[i-1]%mod; b[0]=0;
}
inline void getinv(int a[],int b[],int n) {
    static int tmp[n];
    if(n==1) {b[0]=qpow(a[0],mod-2); return;}
    getinv(a,b,(n+1)>>1);
    int len=getlen(n<<1);
    for(int i=0; i<n; ++i) tmp[i]=a[i];
    for(int i=n; i<len; ++i) tmp[i]=0;
    dft(tmp,len); dft(b,len);
    for(int i=0; i<len; ++i) b[i]=(ll)b[i]*(2+mod-(ll)b[i]*tmp[i]%mod)%mod;
    idft(b,len);
    for(int i=n; i<len; ++i) b[i]=0;
}
inline void getln(int a[],int b[],int n) {
    static int tmp[n];
    getinv(a,tmp,n);
    getder(a,b,n);
    int len=getlen(n<<1);
    dft(tmp,len); dft(b,len);
    for(int i=0; i<len; ++i) tmp[i]=(ll)b[i]*tmp[i]%mod;
    idft(tmp,len);
    getint(tmp,b,n);
    for(int i=n; i<len; ++i) b[i]=0;
    for(int i=0; i<len; ++i) tmp[i]=0;
}
inline void getexp(int a[],int b[],int n) {
    static int tmp[n];
    if(n==1) {b[0]=1; return;}
    getexp(a,b,(n+1)>>1);
    getln(b,tmp,n);
    int len=getlen(n<<1);
    for(int i=0; i<n; ++i) tmp[i]=((i==0)+mod-tmp[i]+a[i])%mod;
    for(int i=n; i<len; ++i) tmp[i]=0;
    dft(tmp,len); dft(b,len);
    for(int i=0; i<len; ++i) b[i]=(ll)tmp[i]*b[i]%mod;
    idft(b,len);
    for(int i=n; i<len; ++i) b[i]=0;
    for(int i=0; i<len; ++i) tmp[i]=0;
}
//------- polynomial end -------

int n,m,con,a[n],d[20][n];
void solve(int l,int r,int p) {
    if(l==r) {
        d[p][0]=1;
        d[p][1]=mod-a[l];
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1; 
    solve(l,mid,p);
    solve(mid+1,r,p+1);
    int len=getlen(r-l+1);
    for(int i=mid-l+2; i<len; ++i) d[p][i]=0;
    for(int i=r-mid+1; i<len; ++i) d[p+1][i]=0;
    dft(d[p],len); dft(d[p+1],len);
    for(int i=0; i<len; ++i) d[p][i]=(ll)d[p][i]*d[p+1][i]%mod;
    idft(d[p],len);
}
int fc[n],fv[n];
int s[n],a[n],b[n],p[n],q[n];

int main() {
    //freopen("filename.in","r",stdin);
    fc[0]=fc[1]=fv[0]=fv[1]=1;
    for(int i=2; i<n; ++i) fv[i]=(ll)fv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
    for(int i=2; i<n; ++i) fv[i]=(ll)fv[i-1]*fv[i]%mod;
    for(int i=2; i<n; ++i) fc[i]=(ll)fc[i-1]*i%mod;
    
    scanf("%d%d",&n,&m); 
    predone((n+1)*4); con=fc[n-2];
    for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d",a+i),con=(ll)con*a[i]%mod;
    solve(1,n,0); 
    getln(d[0],s,getlen(n)); //改成二的幂次似乎能缓解数组清空问题……
    s[0]=n;
    for(int i=1; i<=n; ++i) s[i]=(mod-(ll)s[i]*i%mod)%mod;

    for(int i=0; i<=n-2; ++i) {
        a[i]=(ll)fv[i]*qpow(i+1,2*m)%mod;
        b[i]=(ll)fv[i]*qpow(i+1,m)%mod;
    }
    getinv(b,p,n-1);
    getln(b,q,n-1);
    int len=getlen(n<<1);
    dft(a,len); dft(p,len);
    for(int i=0; i<len; ++i) p[i]=(ll)a[i]*p[i]%mod;
    idft(p,len);
    for(int i=n-1; i<len; ++i) p[i]=0;
    for(int i=0; i<=n-2; ++i) {
        p[i]=(ll)p[i]*s[i]%mod;
        q[i]=(ll)q[i]*s[i]%mod;
    }
    memset(b,0,sizeof b); //这儿也是……
    getexp(q,b,n-1);
    dft(p,len); dft(b,len);
    for(int i=0; i<len; ++i) p[i]=(ll)p[i]*b[i]%mod;
    idft(p,len);
    
    printf("%lld\n",(ll)con*p[n-2]%mod);
    return 0;
}