SG函数和SG定理(Sprague_Grundy)
一、必胜点和必败点的概念
P点:必败点,换而言之,就是谁处于此位置,则在双方操作正确的情况下必败。
N点:必胜点,处于此情况下,双方操作均正确的情况下必胜。
必胜点和必败点的性质:
1、所有终结点是 必败点 P 。(我们以此为基本前提进行推理,换句话说,我们以此为假设)
2、从任何必胜点N 操作,至少有一种方式可以进入必败点 P。
3、无论如何操作,必败点P 都只能进入 必胜点 N。
我们研究必胜点和必败点的目的时间为题进行简化,有助于我们的分析。通常我们分析必胜点和必败点都是以终结点进行逆序分析。我们以hdu 1847 Good Luck in CET-4 Everybody!为例:
当 n = 0 时,显然为必败点,因为此时你已经无法进行操作了
当 n = 1 时,因为你一次就可以拿完所有牌,故此时为必胜点
当 n = 2 时,也是一次就可以拿完,故此时为必胜点
当 n = 3 时,要么就是剩一张要么剩两张,无论怎么取对方都将面对必胜点,故这一点为必败点。
以此类推,最后你就可以得到;
n : 0 1 2 3 4 5 6 ...
position: P N N P N N P ...
你发现了什么没有,对,他们就是成有规律,使用了 P/N来分析,有没有觉得问题变简单了。
二、Sprague-Grundy定理(SG定理)
游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和。这样就可以将每一个子游戏分而治之,从而简化了问题。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim游戏中的直接应用,因为单堆的Nim游戏 SG函数满足 SG(x) = x。
(NIM游戏:https://blog.csdn.net/luomingjun12315/article/details/45479073)
三、Sprague-Grundy函数(SG函数)
首先定义mex(minimal excludant)运算,这是施加于一个集合的运算,表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
对于任意状态 x , 定义 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合。如 x 有三个后继状态分别为 SG(a),SG(b),SG(c),那么SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。 这样 集合S 的终态必然是空集,所以SG函数的终态为 SG(x) = 0,当且仅当 x 为必败点P时。
四、例题
http://poj.org/problem?id=2975
http://poj.org/problem?id=2960
https://ac.nowcoder.com/acm/contest/338/I
五、参考文章
https://blog.csdn.net/luomingjun12315/article/details/45555495
https://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6921829.html
https://blog.csdn.net/kamisama123/article/details/77649118
本文地址:https://blog.csdn.net/weixin_43272781/article/details/85956967
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