[SCOI2005]繁忙的都市(并查集+二分)题解

题目来源

https://www.luogu.com.cn/problem/P2330

题目描述

城市C是一个非常繁忙的大都市，城市中的道路十分的拥挤，于是市长决定对其中的道路进行改造。城市C的道路是这样分布的：城市中有n个交叉路口，有些交叉路口之间有道路相连，两个交叉路口之间最多有一条道路相连接。这些道路是双向的，且把所有的交叉路口直接或间接的连接起来了。每条道路都有一个分值，分值越小表示这个道路越繁忙，越需要进行改造。但是市*的资金有限，市长希望进行改造的道路越少越好，于是他提出下面的要求：

1．改造的那些道路能够把所有的交叉路口直接或间接的连通起来。 2．在满足要求1的情况下，改造的道路尽量少。 3．在满足要求1、2的情况下，改造的那些道路中分值最大的道路分值尽量小。

任务：作为市规划局的你，应当作出最佳的决策，选择那些道路应当被修建。

输入格式

第一行有两个整数n,m表示城市有n个交叉路口，m条道路。

接下来m行是对每条道路的描述，u, v, c表示交叉路口u和v之间有道路相连，分值为c。(1≤n≤300，1≤c≤10000，1≤m≤100000)

输出格式

两个整数s, max，表示你选出了几条道路，分值最大的那条道路的分值是多少。

输入样例

4 5
1 2 3
1 4 5
2 4 7
2 3 6
3 4 8

输出样例

3 6

题解思路

题意为：给n个点，m条边，在满足取尽量少的x条边将所有点直接或者间接连接这个条件下，使此x条边的权值最大值最小。

• 题目中1，2两个满足点暗示答案为一棵树，也就是用最小代价n-1条边完成n个点的联通。
• 第一种方案可以用Kruskal算法直接求解。因为Kruskal算法是从边权由小到大枚举。筛选出的边完成的最小生成树自然满足最大边权最小，但我们本题使用第二种解法，并查集+二分。首先将边存在结构体中，按权值排序，再二分最大边权。枚举所有小于等于此边权的边，由并查集检验是否可以完成n个点联通。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=8100;
struct node
{
    int a,b,w;
}sz[N];
int n,m;
int p[N];
int find(int a)
{
    if(p[a]!=a)p[a]=find(p[a]);
    return p[a];
}
bool cmp(const node&A,const node&B)
{
    return A.w<B.w;
}
bool check(int x)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)p[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a=sz[i].a,b=sz[i].b,w=sz[i].w;
        if(w>x)break;
        if(find(a)!=find(b))
        {
            p[find(a)]=find(b);
        }
    }
    int flag=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)// 并查集检验是否联通
    {
        if(p[i]==i)flag++;
    }
    if(flag==1)return true;
    return false;
}
int main(void)
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)p[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        sz[i]={a,b,c};
    }
    sort(sz+1,sz+1+m,cmp);
    int l=0,r=10001;
    while(l<r)// 二分枚举可能的最大边权
    {
        int mid=l+r>>1;
        if(check(mid))r=mid;
        else l=mid+1;
    }
    cout<<n-1<<" "<<l;
    return 0;
}

本文地址：https://blog.csdn.net/dylolorz/article/details/107632085