严格次小生成树

题目描述

小c最近学了很多最小生成树的算法，prim算法、kurskal算法、消圈算法等等。正当小c洋洋得意之时，小p又来泼小c冷水了。小p说，让小c求出一个无向图的次小生成树，而且这个次小生成树还得是严格次小的。

这下小 c 蒙了，他找到了你，希望你帮他解决这个问题。

输入格式

第一行包含两个整数n 和m，表示无向图的点数与边数。 接下来 m行，每行 3个数x y z 表示，点 x 和点y之间有一条边，边的权值为z。

输出格式

包含一行，仅一个数，表示严格次小生成树的边权和。(数据保证必定存在严格次小生成树)

洛谷p4180

分析：看到这个题的第一眼想到的是枚举，把所有生成树枚举一遍求最小的，但是显然不行，因为数据有些大了。

想一下最小生成树的算法？kurskal是通过每一次加最小边来实现最小树，所以我们考虑一下边。

对于一棵最小生成树而言，删去树上一边，再加上一条边维护树，就有可能构成次小生成树，为保证它是严格的，所以还要再判断这条边与删去的边是否相等。

现在我们考虑删边，如何保证删去边再加上边仍然是树呢？显然先加边，然后看这条边与其他边构成的环中，最大的那条边是多少，为什么要用最大边呢，因为要求的是次小生成树，在一个点附近，加完边后剩下的边一定大于等于加上的边，不然根据kurskal不会把这条边加上，但这条边还有可能和加的边相等，所以在记录最大边的同时还要记录次大边。

删边和加边的问题解决了，接下来就是记录了，关于记录，使用lca是我没有想到的。

为什么要用lca呢？加边后构成的环，不考虑加的这条边的话，可以分成两部分，一是从边的from到lca，二是从边的to到lca，所以在跑倍增lca的同时（顺便）维护一下最大值和次大值。

最后就是计算了，计算的时候也是同上分两部分，记得判断最大值是不是和边权一样，如果是的话要用次大值。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int n=1e5+10;
//前向星存边
struct edge{
    int to,from,next,val;
    bool isin;
    edge(){isin=val=next=0;}
    bool operator < (const edge &a)const {
        return val<a.val;
    }
}e[n<<1],e[n*3];
int len,head[n];
void ins(int a,int b,int c){
    e[++len].to=b;e[len].val=c;
    e[len].next=head[a];head[a]=len;
}
//并查集+kurskal
int f[n],m,n;
int find(int x){
    return f[x]==x?x:(f[x]=find(f[x]));
}
int ans=0x3f3f3f3f;long long tot=0;
void krs(){
    int cnt=1;
    sort(e+1,e+m+1);
    for(int i=1;cnt<n;i++){
        int v=e[i].to,u=e[i].from;
        if(find(v)!=find(u)){
            cnt++;
            e[i].isin=1;
            tot+=e[i].val;//计算最小生成树
            ins(u,v,e[i].val);
            ins(v,u,e[i].val);
            f[find(v)]=find(u);
        }
    }
}
//倍增lca板子
int dep[n],p[n][20],max[n][20],smax[n][20];
void dfs(int x){
    for(int i=0;p[x][i];i++){
        p[x][i+1]=p[p[x][i]][i];
        max[x][i+1]=max(max[x][i],max[p[x][i]][i]);
        //注意求次大的时候看看两段的最大值是不是相等，如果不判断的话
        //在最大值相等的时候，次大值会被更新为最大值
        if(max[x][i]==max[p[x][i]][i])    
            smax[x][i+1]=max(smax[x][i],smax[p[x][i]][i]);
        else 
            smax[x][i+1]=max(min(max[x][i],max[p[x][i]][i]),
                            max(smax[x][i],smax[p[x][i]][i]));
    }
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
        int v=e[i].to;
        if(v!=p[x][0]){
            dep[v]=dep[x]+1;
            max[v][0]=e[i].val;
            smax[v][0]=-1;
            p[v][0]=x;
            dfs(v);
        }
    }
}
//这段和lca板子一模一样
int lca(int a,int b){
    if(dep[a]<dep[b])swap(a,b);
    int d=dep[a]-dep[b];
    for(int i=0;d;i++,d>>=1)
        if(d&1)a=p[a][i];
    if(a==b)return a;
    for(int i=18;i>=0;i--)
        if(p[a][i]!=p[b][i])
            a=p[a][i],b=p[b][i];
    return p[a][0];
}
//计算
void calc(int u,int v,int w){
    int d=dep[u]-dep[v];//深度差，判断路径
    int m1=0,m2=0;
    for(int i=0;d;i++,d>>=1){
        if(d&1){//如果可以往上跳
            m2=max(m2,smax[u][i]);//细节，先求次大值
            if(max[u][i]>m1){//如果更新最大值，那么原来的最大值m1可能为新的次大值
                m2=max(m2,m1);//判断次大值是否更新
                m1=max[u][i];//更新最大值
            }
        }
    }
    if(m1==w)ans=min(ans,w-m2);//如果最大值与边相等，用次大值更新
    else ans=min(ans,w-m1);//否则用最大值
}
int main(){
//    freopen("a.txt","r",stdin);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        f[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        scanf("%d%d%d",&e[i].from,&e[i].to,&e[i].val);
    krs();
    dfs(1);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        if(!e[i].isin){
            int u=e[i].from,v=e[i].to,lca;
            lca=lca(u,v);
            calc(u,lca,e[i].val);
            calc(v,lca,e[i].val);
        }
    }
    printf("%lld\n",tot+ans);
}