严格次小生成树
题目描述
小c最近学了很多最小生成树的算法,prim算法、kurskal算法、消圈算法等等。正当小c洋洋得意之时,小p又来泼小c冷水了。小p说,让小c求出一个无向图的次小生成树,而且这个次小生成树还得是严格次小的。
这下小 c 蒙了,他找到了你,希望你帮他解决这个问题。
输入格式
第一行包含两个整数n 和m,表示无向图的点数与边数。 接下来 m行,每行 3个数x y z 表示,点 x 和点y之间有一条边,边的权值为z。
输出格式
包含一行,仅一个数,表示严格次小生成树的边权和。(数据保证必定存在严格次小生成树)
洛谷p4180
分析:看到这个题的第一眼想到的是枚举,把所有生成树枚举一遍求最小的,但是显然不行,因为数据有些大了。
想一下最小生成树的算法?kurskal是通过每一次加最小边来实现最小树,所以我们考虑一下边。
对于一棵最小生成树而言,删去树上一边,再加上一条边维护树,就有可能构成次小生成树,为保证它是严格的,所以还要再判断这条边与删去的边是否相等。
现在我们考虑删边,如何保证删去边再加上边仍然是树呢?显然先加边,然后看这条边与其他边构成的环中,最大的那条边是多少,为什么要用最大边呢,因为要求的是次小生成树,在一个点附近,加完边后剩下的边一定大于等于加上的边,不然根据kurskal不会把这条边加上,但这条边还有可能和加的边相等,所以在记录最大边的同时还要记录次大边。
删边和加边的问题解决了,接下来就是记录了,关于记录,使用lca是我没有想到的。
为什么要用lca呢?加边后构成的环,不考虑加的这条边的话,可以分成两部分,一是从边的from到lca,二是从边的to到lca,所以在跑倍增lca的同时(顺便)维护一下最大值和次大值。
最后就是计算了,计算的时候也是同上分两部分,记得判断最大值是不是和边权一样,如果是的话要用次大值。
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int n=1e5+10; //前向星存边 struct edge{ int to,from,next,val; bool isin; edge(){isin=val=next=0;} bool operator < (const edge &a)const { return val<a.val; } }e[n<<1],e[n*3]; int len,head[n]; void ins(int a,int b,int c){ e[++len].to=b;e[len].val=c; e[len].next=head[a];head[a]=len; } //并查集+kurskal int f[n],m,n; int find(int x){ return f[x]==x?x:(f[x]=find(f[x])); } int ans=0x3f3f3f3f;long long tot=0; void krs(){ int cnt=1; sort(e+1,e+m+1); for(int i=1;cnt<n;i++){ int v=e[i].to,u=e[i].from; if(find(v)!=find(u)){ cnt++; e[i].isin=1; tot+=e[i].val;//计算最小生成树 ins(u,v,e[i].val); ins(v,u,e[i].val); f[find(v)]=find(u); } } } //倍增lca板子 int dep[n],p[n][20],max[n][20],smax[n][20]; void dfs(int x){ for(int i=0;p[x][i];i++){ p[x][i+1]=p[p[x][i]][i]; max[x][i+1]=max(max[x][i],max[p[x][i]][i]); //注意求次大的时候看看两段的最大值是不是相等,如果不判断的话 //在最大值相等的时候,次大值会被更新为最大值 if(max[x][i]==max[p[x][i]][i]) smax[x][i+1]=max(smax[x][i],smax[p[x][i]][i]); else smax[x][i+1]=max(min(max[x][i],max[p[x][i]][i]), max(smax[x][i],smax[p[x][i]][i])); } for(int i=head[x];i;i=e[i].next){ int v=e[i].to; if(v!=p[x][0]){ dep[v]=dep[x]+1; max[v][0]=e[i].val; smax[v][0]=-1; p[v][0]=x; dfs(v); } } } //这段和lca板子一模一样 int lca(int a,int b){ if(dep[a]<dep[b])swap(a,b); int d=dep[a]-dep[b]; for(int i=0;d;i++,d>>=1) if(d&1)a=p[a][i]; if(a==b)return a; for(int i=18;i>=0;i--) if(p[a][i]!=p[b][i]) a=p[a][i],b=p[b][i]; return p[a][0]; } //计算 void calc(int u,int v,int w){ int d=dep[u]-dep[v];//深度差,判断路径 int m1=0,m2=0; for(int i=0;d;i++,d>>=1){ if(d&1){//如果可以往上跳 m2=max(m2,smax[u][i]);//细节,先求次大值 if(max[u][i]>m1){//如果更新最大值,那么原来的最大值m1可能为新的次大值 m2=max(m2,m1);//判断次大值是否更新 m1=max[u][i];//更新最大值 } } } if(m1==w)ans=min(ans,w-m2);//如果最大值与边相等,用次大值更新 else ans=min(ans,w-m1);//否则用最大值 } int main(){ // freopen("a.txt","r",stdin); scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i; for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d%d",&e[i].from,&e[i].to,&e[i].val); krs(); dfs(1); for(int i=1;i<=m;i++){ if(!e[i].isin){ int u=e[i].from,v=e[i].to,lca; lca=lca(u,v); calc(u,lca,e[i].val); calc(v,lca,e[i].val); } } printf("%lld\n",tot+ans); }
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