CDQ分治小结

cdq分治小结

warning:此文仅用博主复习使用，初学者看的话后果自负。。

复习的时候才发现以前根本就没写过这种东西的总结，简单的扯一扯

cdq分治的经典应用就是解决偏序问题

比如最经典的三维偏序问题

给出\(n\)个数，每个数\(i\)，有三个属性\(a_i, b_i, c_i\)，现在我们要统计对于每个\(i\)，\(a_j \leqslant a_i, b_j \leqslant b_i, c_j \leqslant c_i\)的个数

显然我们可以先把所有数都按\(a_i\)排序一遍，这样考虑每个位置\(i\)的时候只需要考虑它前面的贡献即可

接下来我们递归处理区间\([1, n]\)。

设分治中心为\(mid\)，cdq分治的主要思想递归处理每一段区间，只考虑过分治中心的贡献。

同时，我们采用归并排序的思想，保证每一次统计答案的时候区间\([l, mid]\)和\([mid +1, r]\)内的元素的\(b_i\)都是相对有序的

这样我们只需要用两个指针扫一遍，同时用树状数组来维护一下\(c_i\)即可

好像说的挺抽象的，貌似直接看代码会好很多？

void cdq(int l, int r) {
    if(l >= r) return ;//区间不合法
    int mid = l + r >> 1;
    cdq(l, mid); cdq(mid + 1, r);//递归下去处理子区间，处理完之后保证区间内的bi相对有序
    int nl = l, nr = mid + 1, top = l - 1, sum = 0;//使用两个指针来归并本区间
    while(nl <= mid || nr <= r) {//st数组记录的时把两端区间按bi大小合并后的值
        if((nr > r) || (nl <= mid && a[nl].b <= a[nr].b)) t.add(a[nl].c, a[nl].w), st[++top] = a[nl++];//用树状数组维护ci的贡献
        else a[nr].id += t.query(a[nr].c ), st[++top] = a[nr++];//直接查询即可
    }
    for(int i = l; i <= mid; i++) t.add(a[i].c, -a[i].w);//把左边区间的影响消除
    for(int i = l; i <= r; i++) a[i] = st[i];//按bi排序
}

然而有一种非常恶心的情况：即\(a_i = a_j, b_i = b_j, c_i = c_j\)

他们内部的贡献往往是不好考虑的，一个最直观的想法是直接把这些相同的数看成一个，统计答案的时候直接加上他们的数量即可

模板

洛谷p3810 【模板】三维偏序（陌上花开）

#include<bits/stdc++.h>
#define getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1<<22, stdin), p1 == p2) ? eof : *p1++)
using namespace std;
const int maxn = 2e5 + 10;
char buf[(1 << 22)], *p1 = buf, *p2 = buf;
inline int read() {
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * f;
}
char obuf[1<<24], *o=obuf;
void print(int x) {
    if(x > 9) print(x / 10);
    *o++= x % 10 + '0';
}
int n, ans[maxn];
struct array {
    int a, b, c, id, w;
    bool operator == (const array &rhs) const {
        return a == rhs.a && b == rhs.b && c == rhs.c;
    }
    bool operator < (const array &rhs) const {
        return(a == rhs.a ? (b == rhs.b ? c < rhs.c : b < rhs.b) : a < rhs.a);
    }
}a[maxn], st[maxn];
struct node {
#define lb(x) (x & (-x))
    int t[maxn], lim;
    void add(int x, int v) {
        while(x <= lim) t[x] += v, x += lb(x);
    }
    int query(int x) {
        int ans = 0;
        while(x) ans += t[x], x -= lb(x);
        return ans;
    }
}t;
void cdq(int l, int r) {
    if(l >= r) return ;
    int mid = l + r >> 1;
    cdq(l, mid); cdq(mid + 1, r);
    int nl = l, nr = mid + 1, top = l - 1, sum = 0;
    while(nl <= mid || nr <= r) {
        if((nr > r) || (nl <= mid && a[nl].b <= a[nr].b)) t.add(a[nl].c, a[nl].w), st[++top] = a[nl++];
        else a[nr].id += t.query(a[nr].c ), st[++top] = a[nr++];
    }
    for(int i = l; i <= mid; i++) t.add(a[i].c, -a[i].w);
    for(int i = l; i <= r; i++) a[i] = st[i];
}
int main() {
    n = read(); t.lim = read();
    for(int i = 1; i <= n; i++) a[i].a = read(), a[i].b = read(), a[i].c = read(), a[i].w = 1;
    stable_sort(a + 1, a + n + 1);
    int num = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        if(a[i] == a[num]) a[num].w++; 
        else a[++num] = a[i];
    }
    cdq(1, num);
    for(int i = 1; i <= num; i++) ans[a[i].id + a[i].w - 1] += a[i].w;
    for(int i = 0; i < n; i++) print(ans[i]), *o++ = '\n';
    fwrite(obuf, o-obuf, 1 , stdout);
    return 0;
}