背包问题3（多重背包）

上一篇讲的完全背包是指在所有物品件数无限多的情况下选择最值，现在引申出多重背包问题，即各物品个数w[ i ]均有限且不一定相同，且每件物品有其价值v[ i ]，求这类情况下的最值。

多重背包问题的特点是数据量大，若按照01背包的做法开dp[ m ] [ n ]的数组进行遍历必会超时，所以建立数组时开设dp[ maxn ]（maxn为数据可能达到的最大值）。
初始化将数组dp[ ]全部设为0，将dp[ 0 ]设为1。利用双重循环 i 从1到n遍历w[ i ]，内层循环 j 从v[ i ]开始往后遍历，只要dp[ j - v[ i ] ]值为真（即表示价值j-v[ i ]能够满足）且dp[ j ]值为假（表示价值 j 尚未被满足）则价值 j 是有可能达到的。为什么说有可能？是因为能否达到价值 j 也得看v[ i ]的数量是否达到上限。如何记录w[ i ]的数量呢？还是要开设一个专门记录个数的数组num[ maxn ]，在第一层循环内将数组num[ ]初始化为0，一旦满足 dp[ j - v[ i ] ]&&!dp[ j ]&&num[ j - v[ i ] ]<w[ i ] 则说明价值 j 是可以满足的，则将dp[ j ]的值设为真，再将num[ j ]=num[ j - v[ i ] ]+1表示价值 j 所对应的价值为v[ i ]的物品的使用数在价值为 j-v[ i ]的基础上加1，此步操作尤为关键！之后根据题意看求什么边操作即可。

特地强调！多重背包虽为背包问题的最后一篇，但其模板最好操作，几乎百套百中！
模板：

    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        memset(num,0,sizeof(num));
        for(int j=v[i];j<=maxn;j++)
        {
            if(dp[j-v[i]&&!dp[j]&&num[j-v[i]]<w[i]) 
            {
                .......           //具体操作因题而异
                num[j]=num[j-v[i]]+1;  //求num[j]对应的使用数
            }
        }
    }

典例：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2191
中文题，没有看不懂的。
思路分析：典型的多重背包问题，开设一维数组dp[]，维数maxn便是最大价值量，之后按照上述思路双重循环便是，dp[maxn]所对应的便是所能买到的最大情况。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main()
{
    int T,n,m;
    int v[105],w[105],num[105],dp[105];
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>m>>n;
        for(int i=0;i<n;i++)
            cin>>v[i]>>w[i]>>num[i];
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<num[i];j++)
                for(int k=m;k>=v[i];k--)
                    dp[k]=max(dp[k],dp[k-v[i]]+w[i]);
        cout<<dp[m]<<endl;
    }
    return 0;
}

典例2：http://poj.org/problem?id=1742
题意：n种价值的硬币，每种都有其数量w[ i ]，给一个最大价值量m求出不超过最大价值量的情况下能凑出多少种价值。
分析：这题直接按照思路模板套就行了，一套就中。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
using namespace std;

int use[100001];
int n,m;
bool dp[100001];
int v[1001],num[1001];
int main() 
{
    while (scanf("%d %d", &n, &m) != EOF) 
    {
        if (n == 0 && m == 0) break;
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            scanf("%d", a+i);
        for (int i = 0; i < n; ++i) 
            scanf("%d", num+i);
        int res = 0;
        memset(dp,false,sizeof(dp));
        dp[0] = true;
        for (int i = 0; i < n; ++i) 
        {
            memset(use,0,sizeof(use));
            for (int j = a[i]; j <= m; ++j) 
            {
                if (!dp[j] && dp[j-a[i]] && use[j-a[i]]<num[i])
                {
                    dp[j] = true;
                    use[j] = use[j-a[i]] + 1;
                    ++res;
                }
            }
        }
        printf("%d\n", res);
    }
 return 0;
}