买蛋糕

题目描述

  野猫过生日，大家当然会送礼物了（咳咳，没送礼物的同志注意了哈！！），由于不知道送什么好，又考虑到实用性等其他问题，大家决定合伙给野猫买一个生日蛋糕。大家不知道最后要买的蛋糕的准确价格，而只会给蛋糕估价，即要买一个不超过多少钱的蛋糕。众OIer借此发挥：能否用最少的钱币数去凑成估价范围内的所有价值，使得不管蛋糕价值多少，都不用找钱……
  现在问题由此引出：对于一个给定的n，能否用最少的不等的正整数去组成n以内（包括n）的所有的正整数呢？如果能，最少需要多少个正整数，用最少个数又有多少不同的组成方法呢？

输入数据

  只有一行包含一个整数 n (1≤ n≤ 1000) 。

输出数据

  一行两个数，第一个数是最少需要多少个数，第二个数是用最少个数的组成方案个数。两个答案用空格分隔。

样例输入
6

 样例输出
3 2

样例说明
  最少用三个数，有两种方法，分别是：1，2，3和1，2，4。
   1) 对于1，2，3有1，2，3，1＋3，2＋3，1＋2＋3；
   2) 1，2，4有1，2，1＋2，4，1＋4，2＋4。

算法分析

个数可以通过找规律求得，而组成方案则需通过DP
  （1）通过找规律，可以得出2^(n-1) 到2ⁿ-1之间的数(刚好在完全二叉树的同一层)，最小需要个数是 n
  （2）dp[ i ][ j ][ k ]表示已选 i 个数，第 i 个数为 j，前 i 个数和为 k（凑成的最大整数位 k）的时候的方案数。（第i个数的最大值是2^(i-1)，前 i 个数的和不超过2ⁱ）
  （3）转移方程： dp[ i+1 ][ p ][ k+p ] += dp[ i ][ j ][ k ]，其中 p为枚举的下一个填充数

#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=1005;
int n,ans,tot;
int f[11][maxn][maxn];
int main() {
	cin>>n;
	ans=(int)log2(n)+1;//求最小需要个数
	f[1][1][1]=1;//赋初值为1
	for(int i=1; i<ans; i++)//需要的数字个数
		for(int j=i; j<=(1<<(i-1)); j++)//枚举第i个数，i<=j<=2^(i-1)，第i个数的最大值是2^(i-1)
			for(int k=i; k<=((1<<i)-1); k++)//总和不会超过2^(i)-1，i<=k<=2^i-1
				if(f[i][j][k])//判断是否可以转移
					for(int p=j+1; p<=k+1; p++) {//枚举要加的数，j+1<=p<=k+1
						if(p+k<=n)//总和不到n说明还不行
							f[i+1][p][k+p]+=f[i][j][k];//继续
						else
							f[i+1][p][n]+=f[i][j][k];//可以了，方案+
					}
	for(int i=1; i<=n; i++)//枚举最后一个数，方案相加
		tot+=f[ans][i][n];
	cout<<ans<<" "<<tot;
	return 0;
}

参考：https://www.luogu.org/problemnew/solution/P1490