买蛋糕
题目描述
野猫过生日,大家当然会送礼物了(咳咳,没送礼物的同志注意了哈!!),由于不知道送什么好,又考虑到实用性等其他问题,大家决定合伙给野猫买一个生日蛋糕。大家不知道最后要买的蛋糕的准确价格,而只会给蛋糕估价,即要买一个不超过多少钱的蛋糕。众OIer借此发挥:能否用最少的钱币数去凑成估价范围内的所有价值,使得不管蛋糕价值多少,都不用找钱……
现在问题由此引出:对于一个给定的n,能否用最少的不等的正整数去组成n以内(包括n)的所有的正整数呢?如果能,最少需要多少个正整数,用最少个数又有多少不同的组成方法呢?
输入数据
只有一行包含一个整数 n (1≤ n≤ 1000) 。
输出数据
一行两个数,第一个数是最少需要多少个数,第二个数是用最少个数的组成方案个数。两个答案用空格分隔。
样例输入
6
样例输出
3 2
样例说明
最少用三个数,有两种方法,分别是:1,2,3和1,2,4。
1) 对于1,2,3有1,2,3,1+3,2+3,1+2+3;
2) 1,2,4有1,2,1+2,4,1+4,2+4。
算法分析
个数可以通过找规律求得,而组成方案则需通过DP
(1)通过找规律,可以得出2(n-1) 到2n-1之间的数(刚好在完全二叉树的同一层),最小需要个数是 n
(2)dp[ i ][ j ][ k ]表示已选 i 个数,第 i 个数为 j,前 i 个数和为 k(凑成的最大整数位 k)的时候的方案数。(第i个数的最大值是2(i-1),前 i 个数的和不超过2i)
(3)转移方程: dp[ i+1 ][ p ][ k+p ] += dp[ i ][ j ][ k ],其中 p为枚举的下一个填充数
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=1005;
int n,ans,tot;
int f[11][maxn][maxn];
int main() {
cin>>n;
ans=(int)log2(n)+1;//求最小需要个数
f[1][1][1]=1;//赋初值为1
for(int i=1; i<ans; i++)//需要的数字个数
for(int j=i; j<=(1<<(i-1)); j++)//枚举第i个数,i<=j<=2^(i-1),第i个数的最大值是2^(i-1)
for(int k=i; k<=((1<<i)-1); k++)//总和不会超过2^(i)-1,i<=k<=2^i-1
if(f[i][j][k])//判断是否可以转移
for(int p=j+1; p<=k+1; p++) {//枚举要加的数,j+1<=p<=k+1
if(p+k<=n)//总和不到n说明还不行
f[i+1][p][k+p]+=f[i][j][k];//继续
else
f[i+1][p][n]+=f[i][j][k];//可以了,方案+
}
for(int i=1; i<=n; i++)//枚举最后一个数,方案相加
tot+=f[ans][i][n];
cout<<ans<<" "<<tot;
return 0;
}
参考:https://www.luogu.org/problemnew/solution/P1490
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