B树与B+树

B树

　　如果前面的2-3树与2-3-4树理解了，B树也就理解了，因为2-3树就是3阶的B树，2-3-4树就是4阶的B树。所以，对于B树的性质，根据2-3-4树都可以推导出来了，即，

　　一颗m阶的B树（B-tree） 定义如下：

（1）每个节点最多有 m-1 个key；

（2）根节点至少有1个key；

（3）非根节点至少有 Math.ceil(m/2)-1 个key；

（4）每个节点中的key都按照从小到大的顺序排列，每个key的左子树中的所有key都小于它，而右子树中的所有key都大于它；

（5）所有叶子节点都位于同一层，即根节点到每个叶子节点的长度都相同。

　　如下图是一棵4阶B树（2-3-4树），

​　　在前面的章节我就已经说过，出现多路查找树的原因，是因为多路查找树的数据结构，用在内存读取外存的场景下，可以减少磁盘的IO次数，因为在高阶的情况下，树不用很高就可以标识很大的数据量了，那这个怎么算的呢？
　　打个比方，以2-3树为例，树高为3的时候，一棵2-3树可以保存2+3x2+3x2x2=20个key，若当B树的阶数达到1001阶，即一个节点可以放1000个key，然后树高还是3，即 1000+1000x1001+1000x1001x1000 ，零头不算了，即至少可以放10个亿的key，此时我们只要让根节点读取到内存中，把子节点及子孙节点持久化到硬盘中，那么在这棵树上，寻找某一个key至多需要2次硬盘的读取即可。

　　而对于B树节点的插入，可以类比2-3-4树，即，若节点插入节点的key还未“丰满”，则直接插入，若节点插入节点的key已“丰满”，则插入节点之后分裂，再以分裂之后的父节点看作向上层插入的节点调整，直至满足该 m 阶的B树。如下，为5阶B树插入节点的动态图，

注：5阶的非根节点至少有 Math.ceil(5/2)-1 个key，即，至少要有2个key，根节点可以为1个key

​

　　对于B树节点的删除，也一样类比2-3-4树，如下，

（1）若删除非叶子节点，找后继节点替换之，将问题转化为删除叶子节点；

（2）若删除叶子节点，且叶子节点的key数大于定义中的最小值（根节点至少有1个key，非根节点至少有 Math.ceil(m/2)-1 个key），则直接删除即可，无需调整，

（3）若删除叶子节点，且叶子节点的key数刚好满足定义中的最小值，即刚好“脱贫”，则将节点删除，此时树肯定需要调整，即：

　　　　a.若删除节点的相邻兄弟节点的key数“富裕”（节点的key大于定义中的最小值），则父节点的1个key下移与待删除的节点合并，相邻兄弟节点的1个key上移与父节点合并，完成调整；

　　　　b.若删除节点的相邻兄弟节点的key数刚好“脱贫”（节点的key刚好满足定义的最小值），则父节点的1个key下移与待删除的节点及相邻兄弟节点，三者进行合并成一个节点，若下移1个key后的父节点的key数刚好“脱贫”或“富裕”，则调整完成，反之，即此时父节点已经陷入“贫穷”，则将父节点看作当前待删除的节点，重复a，b的判断。

　　如下，是5阶B树删除节点的动态图，

B+树

　　虽然B树这种数据结构，应用在内外存交互，可以极大的减少磁盘的IO次数，但还是有些小瑕疵，如下5阶的B树图，若我需要读取key为“66”与“73”的数据，则此时从根节点“50”开始，“66”大于“50”，找右孩子，即到“60 70 120”的节点，再锁定到“64 66”的节点，找到key为“66”的数据，然后读“73”的数据，再重新从根开始往下寻找key为“73”的数据，如果需要查询的数据量一多，性能就很糟糕。还有一点，就是B树的每个节点都包含key及其value数据，这样的话，我每次读取叶子节点的数据时，在经过路径上的非叶子节点也会被读出，但实际上这部分数据我是不需要的，这样又占用了没有必要的内存空间。

　　所以，B+树在B树的基础上做了优化，它与B树的差异在于：

（1）有 k 个子节点的节点必然有 k 个key；

（2）非叶子节点仅具有索引作用，跟记录有关的信息均存放在叶子节点中。

（3）树的所有叶子节点构成一个有序链表，可以按照key排序的次序遍历全部记录。

​　　即，B和B+树的区别在于，B+树的非叶子结点只包含导航信息，不包含实际的值，所有的叶子结点和相连的节点使用链表相连，便于区间查找和遍历。

B+树的优点在于：
1.由于B+树在内部节点上不包含数据信息，因此在内存页中能够存放更多的key。 
  数据存放的更加紧密，具有更好的空间局部性。
  因此访问叶子节点上关联的数据也具有更好的缓存命中率。
2.B+树的叶子结点都是相链的，因此对整棵树的便利只需要一次线性遍历叶子结点即可。
  而且由于数据顺序排列并且相连，所以便于区间查找和搜索。
  而B树则需要进行每一层的递归遍历，相邻的元素可能在内存中不相邻，所以缓存命中性没有B+树好。

但是B树也有优点，其优点在于：
  由于B树的每一个节点都包含key和value，因此经常访问的元素可能离根节点更近，因此访问也更迅速。

　　另外B/B+树也经常用做数据库的索引，推荐看张洋的 MySQL索引背后的数据结构及算法原理 这篇文章，这篇文章对MySQL中的如何使用B+树进行索引有比较详细的介绍，推荐阅读。