关于二分法

二分法中点的取法

参考博文：二分以及编程过程中求中点各种写法思想解析以及完美写法
从我大学学习二分时，一直习惯将二分法中点取法写为mid = (l + r) / 2，最近开始做LeetCode题目，发现二分法求区间中点的写法更多是mid = l + (r - l) / 2，在化简后可以发现这两种实际在数学上是等价，这两种方式的差异或者说后者的优势在哪？

mid = (l + r) / 2的劣势

• 溢出问题
  l + r可能会溢出int的最大范围，而l + (r - l) / 2不会，这里用减法替代了加法
• 上下界不统一
  区间[2, 5]的中点求下界是mid = (2 + 5) / 2 = 3，是没问题的；而区间[-5, 2]的中点求下界是mid = (-5 + 2) / 2 = -1，这里就出现问题了，[-5, 2]求下界是-2。而(l + r) / 2求出来是-1，也就是说(l + r) / 2想要正确求出区间中点的上下界就要针对(l + r)的正负做不同的处理。而用mid = l + (r - l) / 2就不会出现上述问题。

mid = l + (r - l) / 2的优势

后者的优势就是前者的劣势。

• 不会溢出
  减法替代了加法，避免大数直接相加
• 上下界求法统一
  下界：mid = l + (r - l) / 2
  上界：mid = l + (r - l + 1) / 2

---

二分法的三种典型写法

以下内容转载自：二分法的三种写法

一、有序不重复的数组

比如在数组{1,3,6,9,13}中，查找9这个元素出现的索引位置，如果不存在返回-1

public int find1(int[] nums, int k) {
        int left = 0, right = nums.length - 1;
        while(left <= right){
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] == k){
                return mid;
            }else if(nums[mid] > k){
                right = mid - 1;
            }else{
                left = mid + 1;
            }
        }
        return -1;
}

二、有重复元素，并查找第一次出现的索引

比如数组{1,3,3,6,9,13}中，查找3第一次出现的位置索引，不存在返回-1

public int find2(int[] nums, int k) {
        int left = 0, right = nums.length - 1;
        while(left <= right){
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] >= k){
                right = mid - 1;
            }else{
                left = mid + 1;
            }
        }
        if(left <= nums.length - 1 && nums[left] == k){
            return left;
        }
        return -1;
}

三、有重复元素，并查找最后一次出现的索引

比如数组{1,3,3,6,9,13}中，查找3第一次出现的位置索引，不存在返回-1

public int find2(int[] nums, int k) {
        int left = 0, right = nums.length - 1;
        while(left <= right){
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] >= k){
                right = mid - 1;
            }else{
                left = mid + 1;
            }
        }
        if(left <= nums.length - 1 && nums[left] == k){
            return left;
        }
        return -1;
}