从100万个整数里找出100个最大的数
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2024-03-15 22:35:00
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声明：本文最初发表于《电脑编程技巧与维护》2006年第5期，版本所有，如蒙转载，敬请连此声明一起转载，否则追究侵权责任。网上发表于恋花蝶的博客http://lanphaday.bokee.com
题目:从1亿个整数数中找出最大的1万个。
拿到这道题，马上就会想到的方法是建立一个数组把1亿个数装起来，然后用for循环遍历这个数组，找出最大的1万个数来。原因很简单，因为如果要找出最大的那个数，就是这样解决的；而找最大的1万个数，只是重复1万遍而已。template< class T > void solution_1( T BigArr[], T ResArr[] ) { for( int i = 0; i < RES_ARR_SIZE; ++i ) { int idx = i; for( int j = i+1; j < BIG_ARR_SIZE; ++j ) { if( BigArr[j] > BigArr[idx] ) idx = j; } ResArr[i] = BigArr[idx]; std::swap( BigArr[idx], BigArr[i] ); } } solution_1设BIG_ARR_SIZE ＝ 1亿，RES_ARR_SIZE = 1万，运行以上算法已经超过40分钟，远远超过我们的可接受范围。
从上面的代码可以看出跟SelectSort算法的核心代码是一样的。因为SelectSort是一个O(n^2)的算法（solution_1的时间复 杂度为O(n*m)，因为solution_1没有将整个大数组全部排序），而我们又知道排序算法可以优化到O(nlogn)，那们是否可以从这方面入手 使用更快的排序算法如MergeSor、QuickSort呢？但这些算法都不具备从大至小选择最大的N个数的功能，因此只有将1亿个数按从大到小用 QuickSort排序，然后提取最前面的1万个。因为STL里的sort算法使用的是QuickSort，在这里直接拿来用了，是因为不想写一个写一个众人皆知的QuickSort代码来占篇幅（而且STL的sort高度优化、速度快）。template< class T, class I > void solution_2( T BigArr[], T ResArr[] ) { std::sort( BigArr, BigArr + BIG_ARR_SIZE, std::greater_equal() ); memcpy( ResArr, BigArr, sizeof(T) * RES_ARR_SIZE ); }
对solution_2进行测试，运行时间是32秒，约为solution_1的1.5%的时间，已经取得了几何数量级的进展。
深入思考
压抑住兴奋回头再仔细看看solution_2，你将发现一个大问题，那就是在solution_2里所有的元素都排序了！而事实上只需找出最大的1万个即可，我们不是做了很多无用功吗？应该怎么样来消除这些无用功？
如果你一时没有头绪，那就让我慢慢引导你。首先，发掘一个事实：如果这个大数组本身已经按从大到小有序，那么数组的前1万个元素就是结果； 然后，可以假设这个大数组已经从大到小有序，并将前1万个元素放到结果数组；再次，事实上这结果数组里放的未必是最大的一万个，因此需要将前1万个数字后 续的元素跟结果数组的最小的元素比较，如果所有后续的元素都比结果数组的最小元素还小，那结果数组就是想要的结果，如果某一后续的元素比结果数组的最小元 素大，那就用它替换结果数组里最小的数字；最后，遍历完大数组，得到的结果数组就是想要的结果了。template< class T > void solution_3( T BigArr[], T ResArr[] ) { //取最前面的一万个 memcpy( ResArr, BigArr, sizeof(T) * RES_ARR_SIZE ); //标记是否发生过交换 bool bExchanged = true; //遍历后续的元素 for( int i = RES_ARR_SIZE; i < BIG_ARR_SIZE; ++i ) { int idx; //如果上一轮发生过交换 if( bExchanged ) { //找出ResArr中最小的元素 int j; for( idx = 0, j = 1; j < RES_ARR_SIZE; ++j ) { if( ResArr[idx] > ResArr[j] ) idx = j; } } //这个后续元素比ResArr中最小的元素大，则替换。 if( BigArr[i] > ResArr[idx] ) { bExchanged = true; ResArr[idx] = BigArr[i]; } else bExchanged = false; } } solution_3
上面的代码使用了一个布尔变量bExchanged标记是否发生过交换，这是一个前文没有谈到的优化手段——用以标记元素交换的状态，可以大大减少查找 ResArr中最小元素的次数。也对solution_3进行测试一下，结果用时2.0秒左右（不使用bExchanged则高达32分钟），远小于 solution_2的用时。
深思熟虑
在进入下一步优化之前，分析一下solution_3的成功之处。第一、solution_3的算法只遍历大数组一次，即它是一个O(n) 的算法，而solution_1是O(n*m)的算法，solution_2是O(nlogn)的算法，可见它在本质上有着天然的优越性；第二、在 solution_3中引入了bExchanged这一标志变量，从测试数据可见引入bExchanged减少了约99.99%的时间，这是一个非常大的 成功。
上面这段话绝非仅仅说明了solution_3的优点，更重要的是把solution_3的主要矛盾摆上了桌面——为什么一个O(n)的算 法效率会跟O(n*m)的算法差不多（不使用bExchanged）？为什么使用了bExchanged能够减少99.99%的时间？带着这两个问题再次 审视solution_3的代码，发现bExchanged的引入实际上减少了如下代码段的执行次数：
for( idx = 0, j = 1; j < RES_ARR_SIZE; ++j )
{
if( ResArr[idx] > ResArr[j] )
idx = j;
}
上面的代码段即是查找ResArr中最小元素的算法，分析它可知这是一个O(n)的算法，到此时就水落石出了！原来虽然solution_3是一个 O(n)的算法，但因为内部使用的查找最小元素的算法也是O(n)的算法，所以就退化为O(n*m)的算法了。难怪不使用bExchanged使用的时间 跟solution_1差不多；这也从反面证明了solution_3被上面的这一代码段导致性能退化。使用了bExchanged之后因为减少了很多查 找最小元素的代码段执行，所以能够节省99.99%的时间！
至此可知元凶就是查找最小元素的代码段，但查找最小元素是必不可少的操作，在这个两难的情况下该怎么去优化呢？答案就是保持结果数组（即ResArr）有 序，那样的话最小的元素总是最后一个，从而省去查找最小元素的时间，解决上面的问题。但这也引入了一个新的问题：保持数组有序的插入算法的时间复杂度是 O(n)的，虽然在这个问题里插入的数次比例较小，但因为基数太大（1亿），这一开销仍然会令本方案得不偿失。
难道就没有办法了吗？记得小学解应用题时老师教导过我们如果解题没有思路，那就多读几遍题目。再次审题，注意到题目并没有要求找到的最大的1万个数要有序（注4），这意味着可以通过如下算法来解决：
1) 将BigArr的前1万个元素复制到ResArr并用QuickSort使ResArr有序，并定义变量MinElemIdx保存最小元素的索引，并定义变量ZoneBeginIdx保存可能发生交换的区域的最小索引；
2) 遍历BigArr其它的元素，如果某一元素比ResArr最小元素小，则将ResArr中MinElemIdx指向的元素替换，如果ZoneBeginIdx == MinElemIdx则扩展ZoneBeginIdx；
3) 重新在ZoneBeginIdx至RES_ARR_SIZE元素段中寻找最小元素，并用MinElemIdx保存其它索引；
4) 重复2)直至遍历完所有BigArr的元素。
依上算法，写代码如下：template< class T, class I > void solution_4( T BigArr[], T ResArr[] ) { //取最前面的一万个 memcpy( ResArr, BigArr, sizeof(T) * RES_ARR_SIZE ); //排序 std::sort( ResArr, ResArr + RES_ARR_SIZE, std::greater_equal() ); //最小元素索引 unsigned int MinElemIdx = RES_ARR_SIZE - 1; //可能产生交换的区域的最小索引 unsigned int ZoneBeginIdx = MinElemIdx; //遍历后续的元素 for( unsigned int i = RES_ARR_SIZE; i < BIG_ARR_SIZE; ++i ) { //这个后续元素比ResArr中最小的元素大，则替换。 if( BigArr[i] > ResArr[MinElemIdx] ) { ResArr[MinElemIdx] = BigArr[i]; if( MinElemIdx == ZoneBeginIdx ) --ZoneBeginIdx; //查找最小元素 unsigned int idx = ZoneBeginIdx; unsigned int j = idx + 1; for( ; j < RES_ARR_SIZE; ++j ) { if( ResArr[idx] > ResArr[j] ) idx = j; } MinElemIdx = idx; } } } solution_4
经过测试，同样情况下solution_4用时约1.8秒，较solution_3效率略高，总算不负一番努力。
苦想冥思
这次优化从solution_4产生的输出来入手。把solution_4的输出写到文件，查看后发现数组基本无序了。这说明在程序运行一 定时间后，频繁的替换几乎将原本有序的结果数组全部换血。结果数组被替换的元素越多，查找最小元素要遍历的范围就越大，当被替换的元素个数接近结果数组的 大小时，solution_4就退化成solution_3。因为solution_4很快退化也就直接导致它的效率没有本质上的提高。
找出了原因，就应该找出一个解决的办法。通过上面的分析，知道solution_3和solution_4最消耗时间的是查找最小元素这一 操作，将它减少（或去除）才有可能从本质上提高效率。这样思路又回到保持结果数组有序这一条老路上来。在上一节我们谈到保持数组有序的插入算法将带来大量 的元素移动，频繁的插入操作将使这一方法在效率上得不偿失。有没有办法让元素移动去掉呢？答案也是有的——那就是使用链表。这时新的问题又来了，链表因为 是非随机存取数据结构，插入前寻找位置的算法又是O(n)的。解决新的问题的答案是使用AVL树，但AVL树虽然插入和查找都是O(logn)，可是需要 在插入后进行调整保持平衡，这又是一个耗费大量时间的操作。分析到现在，发现我们像进了迷宫，左冲右突都找不到突破口。
现在请静下来想一想，如果思考结果没有跳出上面这个怪圈，那我不幸地告诉你：你被我误导了。这个故意的误导是要告诫大家：进行算法优化必须 时刻保持自己头脑清醒，否则时刻都有可能陷入这样的迷宫当中。现在跳出这个怪圈重新思考，根据前文的分析，可知目标是减少（或去除）查找最小元素的操作次 数（或查找时间），途径是让ResArr保持有序，难点在于给ResArr排序太费时。反过来想一想，是否需要时刻保持ResArr有序？答案为否，因为 当查找最小元素需要遍历的范围较小时，速度还是很快的，这样就犯不着在每替换一个元素的时候都排序一次，而仅需要在无序元素较多的时候适时地排序即可（即 保持查找最小元素要遍历的范围较小）。这个思想有用吗？写代码来测试一下：
template< class T, class I > void solution_5( T BigArr[], T ResArr[] ) { //同solution_4，略 //这个后续元素比ResArr中最小的元素大，则替换。 if( BigArr[i] > ResArr[MinElemIdx] ) { ResArr[MinElemIdx] = BigArr[i]; if( MinElemIdx == ZoneBeginIdx ) --ZoneBeginIdx; //太多杂乱元素的时候排序 if( ZoneBeginIdx < 9400 ) { std::sort( ResArr, ResArr + RES_ARR_SIZE, std::greater() ); ZoneBeginIdx = MinElemIdx = RES_ARR_SIZE - 1; continue; } //同solution_4，略 } solution_5
代码中的9400是经过试验得出的最好数值，即在有600个元素无序的时候进行一次排序。测试的结果令人惊喜，用时仅400毫秒左右，约为solution_4的五分之一，这也证明了上述思想是正确的。
殚思极虑
脚步永远向前，在取得solution_5这样的成果之后，仍然有必要分析和优化它。对这一看似已经完美的算法进行下一次优化要从哪里着 手？这时候要借助于性能剖分工具了，常用的有Intel的VTune以及Microsoft Visual C++自带的profile等。使用 MS profile对solution_5分析产生的报告如下（略去一些无关数据）：
Func Func+Child Hit
Time % Time % Count Function
---------------------------------------------------------
37.718 1.0 3835.317 99.5 1 _main (algo.obj)
111.900 2.9 3220.082 83.6 1 solution_5(int * ...
0.000 0.0 3074.063 79.8 112 _STL::sort(int *,...
……
可以发现sort函数的调用用去了将近80%的时间，这表明sort函数是问题所在，优化应该从这里着手。但正如前文所说，STL的sort已经高度优化 速度很快了，再对他作优化是极难的；而且sort函数里又调用了其它STL内部函数，如蛛丝般牵来绕去，读得懂已经不是一般人可完成的了，优化从何谈起？
我们不能左右天气，但我们可以左右心情；我们不能修改sort函数，但我们可以控制sort的调用。再看看solution_5里对sort的调用有没有什么蛛丝马迹可寻：
std::sort( ResArr, ResArr + RES_ARR_SIZE, std::greater() );
这个调用是把结果数组ResArr重新排序一遍。需要把整个ResArr完全重新排序吗？答案是需要的，但可以不使用这个方法。因为ResArr里的元素 绝大部分是有序的（结合上文可知前面94%的元素都有序），待排序的只是6%。只要把这600个数据重新排序然后将前后两个有序数组归并为一个有序数组即 可（归并算法的时间复杂度为O(n+m)），将因为排序的数据量较少而大大节约时间。写代码如下：
template< class T, class I > void solution_6( T BigArr[], T ResArr[] ) { //同solution_5，略 //太多杂乱元素的时候排序 if( ZoneBeginIdx < 9400 ) { std::sort( ResArr + 9400, ResArr + RES_ARR_SIZE, std::greater() ); std::merge(ResArr, ResArr + 9400, ResArr + 9400, ResArr + RES_ARR_SIZE, BigArr, std::greater() ); memcpy( ResArr, BigArr, sizeof(T) * RES_ARR_SIZE ); //同solution_5，略 } solution_6
经测试，solutio_6的运行时间为250毫秒左右，比solution_5快了将近一半，通过profile分析报告计算sort函数和merge函数的占用时间总计约为执行时间的19.6%，远小于solution_5的占用时间。
结束语
一番努力之后，终于将一个原来需要近一个小时才能解决的问题用250毫秒完成，文章到这里要完结，不过上述算法仍有可优化的余地，这就要读 者朋友自己去挖掘了。我希望看到这篇文章的人不仅仅是赞叹算法的奇妙，更希望能够学会算法优化的方法和技巧。对于算法优化的方法，我总结如下（仅供参考及 抛砖引玉之用）：
不断地否定自己的方法[全文]
减少重复计算[solution_3]；
不要做没要求你做的事[solution_3]；
深化对需求的理解[solution_4]；
温故而知新，多重读自己的算法代码[solution_4]；
从程序的输出（或者中间结果）里找突破[solution_5]；
时刻保持头脑清醒，常常跳出习惯的框框[solution_5]；
善于使用工具[solution_6]；
养成解决一个问题思考多个方案的习惯[全文]。
最后要讲的一点就是STL里提供了一个可以直接完成这一问题的算法——nth_element。经测试，nth_element在大数组比较小的时候速度 比以上算法都要快，但在大数组尺寸为1亿的时候所用的时间为1.3秒左右，是solution_6运行时间的5倍。原因在于nth_elenemt的实现 方法跟本文介绍的算法大不相同，有兴趣的朋友可以去阅读其源码。建议大家在一般情况下使用STL的nth_element，它在数量为十万级的时候仍有极 好的性能。
参考资料：
[1] 侯捷 《STL源码剖析》 华中科技大学出版社 2002年6月
[2] Anany Levitin 潘彦[译] 《算法设计与分析基础》 清华大学出版社 2004年6月
[3] http://job.csdn.net/n/20051216/31105.html
注：
[1] 此题目版权归出题人或者其单位所有
[2] 本文所有的优化都针对于平均情况，即大数组由随机数构成且无序
[3] 所有测试均设BIG_ARR_SIZE = 1亿，RES_ARR_SIZE = 1万，测试的机器配置 为：CPU P4EE 3.0G + 512 M memory，HyperThreading Enabled，操作系 统：Windows 2000 pro，编译器： MS VC++ 6.0 + sp6，STL库： STLport 4.6.2；可从我的博客 http://lanphaday.bokee.com下载本文所有算法源码和测试程序。
[4] 如果要求有序，可以通过先找出结果，再对结果排序完成要求。