在有序旋转数组中找到最小值

在有序旋转数组中找到最小值

题目描述

有序数组arr可能经过一次旋转处理，也可能没有，且arr可能存在重复的数。例如，有序数组[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]，可以旋转处理成[4, 5, 6, 7, 1, 2, 3]等。给定一个可能旋转过的有序数组arr，返回arr中的最小值。

[要求]

期望复杂度为 O ( log ⁡ n ) O(\log n) O(logn)

输入描述：

第一行一个整数N表示数组大小。
接下来N个数表示数组内的数。

输出描述：

输出一个整数表示答案

示例1

输入

7
1 2 3 4 5 6 7

输出

1

示例2

输入

7
4 5 6 7 1 2 3

输出

1

备注：

1 ⩽ N ⩽ 1 0 6 1 \leqslant N \leqslant 10^6 1⩽N⩽106
1 ⩽ a r r i ⩽ 1 0 9 1 \leqslant arr_i \leqslant 10^9 1⩽arri​⩽109

---

题解：

二分。注意：二分不一定必须要有单调性，二分的本质是寻找某种性质的分界点。只要找到某种性质，可以确定目标在区间的前半部分还是后半部分，就可以用二分找到这个分界点。

为了便于分析，将数组中的元素画在二维坐标系中，横轴代表下标，纵轴代表值。

水平的实线表示相同的元素。可以发现，除了黑色水平那段，其余部分均满足二分性质：竖直的虚线左边的元素均满足 a r r [ i ] > = a r r [ 0 ] arr[i]>=arr[0] arr[i]>=arr[0]，而虚线右边（去除黑色线段部分）的元素均满足 a r r [ i ] < a r r [ 0 ] arr[i]<arr[0] arr[i]<arr[0]。

首先，我们需要把黑色的水平段删除，至于为什么删除呢？考虑一种情况： a r r [ m i d ] = = a [ 0 ] arr[mid] == a[0] arr[mid]==a[0]，这种情况下，根本不知道往哪边走，所以只能删除。

还需要处理数组未旋转的情况。当删除黑色水平段后，若剩下的最后一个元素大于等于arr[0]，说明数组完全单调。但最坏情况：元素均相等情况下的时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)。

剩下的就是普通二分了：

• m = l + r >> 1
• 若 a[m] >= a[0]，l = m + 1
• 若 a[m] < a[0]，r = m

代码：

#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 1000000;

int n;
int a[N];

int main(void) {
    scanf("%d", &n);
    for ( int i = 0; i < n; ++i ) scanf("%d", a + i);
    n -= 1;
    if ( a[0] < a[n] ) return 0 * printf("%d\n", a[0]);
    while ( n && a[n] >= a[0] ) --n;
    if ( a[n] >= a[0] ) return 0 * printf("%d\n", a[0]);
    int l = 0, r = n - 1;
    while ( l < r ) {
        int m = l + r >> 1;
        if ( a[m] >= a[0] ) l = m + 1;
        else r = m;
    }
    return 0 * printf("%d\n", a[l]);
}