判断素数（一般筛到线性筛）

【...】今天我们来判断素数~

【原始】

时间复杂度O(n*sqrt(n))

bool isprime(int n)
{
    int i;
    for(i=2;i<=sqrt(n);i++)
        if(n%i==0)
            return false;
    return true;
}

【...】有了以上思路，可以简单粗暴地对n进行素数判断。但当n特别大时，这样的算法显然效率太低，于是在这里提供筛法的思想：我们可以构建一个大小为n+5的bool类型数组，并将各元素初始化为true，通过算法将非素数的下标所对应元素值赋为false，最后通过判断对应元素的真假输出是否为素数即可。

【普通筛——埃拉托斯特尼(Eratosthenes)筛法】

时间复杂度O(nlglgn)

bool number[maxn+5];
void isprime()
{
    int i,j;
    memset(number,true,sizeof(number));
    for(i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(number[i]==true)
        {
            for(j=2;j*i<=N;j++)
                number[i*j]=false;
        }
    }
}

改进：

bool number[maxn+5];
void isprime()
{
    int i,j;
    memset(number,true,sizeof(number));
    for(i=2;i<=sqrt(N);i++)
    {
        if(number[i]==true)
        {
            for(j=i*i;j<=N;j+=i)
                number[j]=false;
            //二次筛选法:i是素数，则下一个起点是i*i,把后面的所有的i*i+2*n*i筛掉
        }
    }
}

【...】上面介绍的筛法效率很高，但不足之处也比较明显，就是很多数被重复判断，显然是不必要的。

【线性筛——欧拉Euler筛】

时间复杂度为O(n)

   prime[]数组中的素数是递增的,当i能整除prime[j]，那么i*prime[j+1]这个合数肯定被prime[j]乘以某个数筛掉。
   因为i中含有prime[j],prime[j]比prime[j+1]小，即i=k*prime[j]，那么i*prime[j+1]=(k*prime[j])*prime
   [j+1]=k’*prime[j]，接下去的素数同理。所以不用筛下去了。因此，在满足i%prime[j]==0这个条件之前以及第一次
   满足改条件时,prime[j]必定是prime[j]*i的最小因子。

bool number[maxn+5];
void isprime()
{
    int prime[maxn+5];
    int i,j,c=0;
    memset(number,true,sizeof(number));
    for(i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(number[i])
            prime[c++]=i;
        for(j=0;j<c&&prime[j]*i<=maxn;j++)
        {
            number[prime[j]*i]=false;
            if(i%prime[j]==0) //保证每个合数只会被它的最小质因数筛去，因此每个数只会被标记一次
                break;
        }
    }
}