10分钟学会最小生成树（Prim+Kruskal）
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问题引入
畅通工程
若要将n个城市之间原有的公路改造为高速公路，这些城市之间原有公路网如右图所示，每条边上的数字表示高速公路的改造成本（单位：10亿元）。如何以最低的成本来构建高速公路网，使得任意两个城市之间都有高速公路相连？
算法概述
最小生成树
Minimal Spanning Trees (MST)
任何只由图G的边构成，并包含G的所有顶点的树称为G的生成树
加权无向图G的生成树的权重是该生成树的所有边的权重之和
最小生成树是其所有生成树中权重最小的生成树
N个顶点，选取N-1条边，构建一个连通图，且这N-1条边的权重之和最小
分析：很明显，最小生成树就是我们引入问题的解。那又该怎么来构建最小生成树呢
现在我们来介绍两种构建最小生成树的算法，Prim算法和Kruskal算法。
Prim
普里姆算法，于1930年由捷克数学家沃伊捷赫.亚尔尼克（Vojtěch Jarník）首次发现，在1957年由美国计算机科学家罗伯特.C**.普里姆**（Robert C. Prim）独立发现，1959年，杰出的荷兰计算机科学家艾兹格.W.迪杰斯特拉（Edsger W. Dijkstra）再次发现了该算法，又被称为亚尔尼克算法或普里姆-亚尔尼克算法，具有贪心选择性质 --> 贪心算法经典实例
实例分析：
设计思路
(1) 任意选定一点s，设集合S={s}
(2) 从**不在集合S的点中选出一个点j使得其与S内的某点i的距离最短**，则(i，j)就是生成树上的一条边，同时将j点加入S
(3) 转到(2)继续进行，直至所有点都己加入S集合
**小结：**Prim算法，以贪点为核心，目的将n个点放进集合s{}，适用于稠密图（点少边多）
那需要定义哪些数据结构来记录一个顶点的信息?
int G[MAXN] [MAXN];
//存储图,这里用的是整形，实际应用时可能会复杂一点，需要自定义数据类型
int closeset[n], //记录不在S中的顶点i在S中的最近邻接点closeset[i]
int lowcost[n], //记录不在S中的顶点i到S的最短距离，即到最近邻接点的权值
int used[n]; //标记顶点是否被访问，访问过的顶点标记为1
初始化
int n, m; //n存储顶点的数量，m存储边的数量
int G[MAXN][MAXN]; //存储图
void init(){
for(int i = 0 ; i < n ; i++){
for(int j = 0 ; j < n ; j++)
G[i][j] = INF; //初始化图中任两点间距离为无穷大
}
}
贪心选择
void prim(){
int closeset[n], //记录不在S中的顶点在S中的最近邻接点
lowcost[n], //记录不在S中的顶点到S的最短距离，即到最近邻接点的权值
used[n]; //标记顶点是否被访问，访问过的顶点标记为1
for (int i = 0; i < n; i++)
{
//初始化，S中只有第1个点(0)
lowcost[i] = G[0][i];
//获取其他顶点到第1个点(0)的距离，不直接相邻的顶点距离为无穷大
closeset[i] = 0;
//初始情况下所有点的最近邻接点都为第1个点(0)
used[i] = 0;
//初始情况下所有点都没有被访问过
}
used[0] = 1; //访问第1个点(0)，将第1个点加到S中
//每一次循环找出一个到S距离最近的顶点
for (int i = 1; i < n; i++)
{
int j = 0;
/*每一次循环计算所有没有使用的顶点到当前S的距离，
得到在没有使用的顶点中到S的最短距离以及顶点号 */
for (int k = 0; k < n; k++)//核心：贪一个离s{}最近的点(找点)
if ((!used[k]) && (lowcost[k] < lowcost[j]))
j = k; //因为j初始为0(s的第一个点),lowcost[0]无穷大
//如果顶点k没有被使用，且到S的距离小于j到S的距离，将k赋给j
printf("%d %d %d\n",closeset[j] + 1, j + 1, lowcost[j]);
//输出S中与j最近邻点，j，以及它们之间的距离
used[j] = 1; //将j增加到S中
/*每一次循环用于在j加入S后，重新计算不在S中的顶点到S的距离，
修改与j相邻的边到S的距离，即更新lowcost和closeset */
for (int k = 0; k < n; k++)
{
if ((!used[k]) && (G[j][k] < lowcost[k]))
//松弛操作，如果k没有被使用，且k到j的距离比原来k到S的距离小
{
lowcost[k] = G[j][k];
//将k到j的距离作为新的k到S之间的距离
closeset[k] = j;
//将j作为k在S中的最近邻点
}
}
}
}
时间复杂度分析：
T(n)=O(V^2) 【邻接矩阵】–> 稠密图
堆优化（小根堆）：T(n) = O(VlogV)+O(ElogV) = O(ElogV)
堆优化（斐波那契堆）：T(n) = O(E+VlogV)
小结：
Prim算法是一种基**于贪心思想求解加权无向图的最小生成树**的算法
Prim算法的时间复杂度为T(n)= O(V^2)，适合于处理稠密图；
Kurskal
并查集 + 最小生成树 --> Kruskal算法
克鲁斯卡尔算法
一种用来查找最小生成树的算法
由Joseph Kruskal于1956年发表【Joseph Bernard Kruskal，1928年1月29日-2010年9月19日，美国数学家、统计学家、计算机科学家、心理测量学专家】
设计思路
(1) 将边按权值从小到大排序后逐个判断，如果当前的边加入以后不会产生环，那么就把当前边作为生成树的一条边
(2) 一共选取(V-1)条边（V为顶点数），最终得到的结果就是最小生成树
数据结构：并查集
数据结构定义和初始化
/* 定义边(x,y)，权为w */
struct edge
{
int x, y;
int w;
};
edge e[MAX * MAX];
int rank[MAX];/* rank[x]表示x的秩 */
int father[MAX];/* father[x]表示x的父结点 */
int sum; /*存储最小生成树的总权重 */
/* 比较函数，按权值非降序排序 */
bool cmp(const edge a, const edge b)
{
return a.w < b.w;
}
并查集
/* 初始化集合 */
void make_set(int x)
{
father[x] = x;
rank[x] = 0;
}
/* 查找x元素所在的集合,回溯时压缩路径 */
int find_set(int x)
{
if (x != father[x])
{
father[x] = find_set(father[x]);
}
return father[x];
}
/* 合并x,y所在的集合 */
int union_set(int x, int y, int w)
{
x = find_set(x);
y = find_set(y);
if (x == y) return 0;//不合并返回0
if (rank[x] > rank[y])
{
father[y] = x;
}
else
{
if (rank[x] == rank[y])
{
rank[y]++;
}
father[x] = y;
}
sum += w; //记录权重
return 1;//合并返回1， 标记出边（x,y）是否可以加入生成树中
}
时间复杂度分析
边排序所需时间：T(n) = O(ElogE)
Kruskal算法的实现通常使用并查集来快速判断两个顶点是否属于同一个集合。**最坏的情况可能要枚举完所有的边，此时要循环|E|次，**所以这一步的时间复杂度为O(Eα(V))【采用路径压缩后，每一次查询所用的时间复杂度为增长极为缓慢的Ackerman函数的反函数——α(x) ，其增长非常慢，可以视为常数】
T(n)= O(Eα(V)) + O(ElogE) = O(ElogE) -->稀疏图
例题HDU-1301
题目描述
The Head Elder of the tropical island of Lagrishan has a problem. A burst of foreign aid money was spent on extra roads between villages some years ago. But the jungle overtakes roads relentlessly, so the large road network is too expensive to maintain. The Council of Elders must choose to stop maintaining some roads. The map above on the left shows all the roads in use now and the cost in aacms per month to maintain them. Of course there needs to be some way to get between all the villages on maintained roads, even if the route is not as short as before. The Chief Elder would like to tell the Council of Elders what would be the smallest amount they could spend in aacms per month to maintain roads that would connect all the villages. The villages are labeled A through I in the maps above. The map on the right shows the roads that could be maintained most cheaply, for 216 aacms per month. Your task is to write a program that will solve such problems.
The input consists of one to 100 data sets, followed by a final line containing only 0. Each data set starts with a line containing only a number n, which is the number of villages, 1 < n < 27, and the villages are labeled with the first n letters of the alphabet, capitalized. Each data set is completed with n-1 lines that start with village labels in alphabetical order. There is no line for the last village. Each line for a village starts with the village label followed by a number, k, of roads from this village to villages with labels later in the alphabet. If k is greater than 0, the line continues with data for each of the k roads. The data for each road is the village label for the other end of the road followed by the monthly maintenance cost in aacms for the road. Maintenance costs will be positive integers less than 100. All data fields in the row are separated by single blanks. The road network will always allow travel between all the villages. The network will never have more than 75 roads. No village will have more than 15 roads going to other villages (before or after in the alphabet). In the sample input below, the first data set goes with the map above.
The output is one integer per line for each data set: the minimum cost in aacms per month to maintain a road system that connect all the villages. Caution: A brute force solution that examines every possible set of roads will not finish within the one minute time limit.
翻译：热带岛屿拉格里山的首长有个问题。几年前，大量的外援花在了村庄之间的额外道路上。但是丛林不断地超越道路，因此庞大的道路网太昂贵而无法维护。老年人理事会必须选择停止维护一些道路。左上方的地图显示了目前正在使用的所有道路，以及每月维护这些道路的费用。当然，即使路线不像以前那么短，也需要采取某种方式在所有村庄之间保持通行。长老院长想告诉长老委员会每月要花多少钱才能维持连接所有村庄的道路。在上面的地图中，这些村庄被标记为A到I。右边的地图显示了可以最便宜地维护的道路，每月可节省216英亩。您的任务是编写一个解决此类问题的程序。
输入由1到100个数据集组成，后面是仅包含0的最后一行。每个数据集都从仅包含数字n的行开始，n是村庄的数目，1 <n <27，并标记了村庄字母的前n个字母大写。每个数据集都以n-1行完成，这些行以字母顺序的村庄标签开头。最后一个村庄没有电话。村庄的每条线均以村庄标签开头，后跟从该村庄到带有字母标签的村庄的道路的数量k。如果k大于0，则该行以k条道路中的每条道路的数据继续。每条道路的数据是道路另一端的村庄标签，其后是道路的每月维护成本（以acms为单位）。维护成本将为小于100的正整数。该行中的所有数据字段均由单个空格分隔。公路网将始终允许所有村庄之间的旅行。该网络永远不会超过75条道路。到其他村庄的村庄中，没有一条道路会超过15条（在字母表中的前后）。在下面的示例输入中，第一个数据集与上面的地图一起显示。
每个数据集的输出为每行一个整数：维护连接所有村庄的道路系统的每月最低费用（以aacms计）。警告：检查每条可能的道路的暴力解决方案都不会在一分钟的时间内完成。
输入
9
A 2 B 12 I 25
B 3 C 10 H 40 I 8
C 2 D 18 G 55
D 1 E 44
E 2 F 60 G 38
F 0
G 1 H 35
H 1 I 35
3
A 2 B 10 C 40
B 1 C 20
0
输出
216
30
上代码，这是Kruskal算法的。
#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
const int maxx = 105;
int father[maxx];
int ran[maxx];
int ans = 0;
struct node
{
int x, y;
int v;
} qq[30];
inline bool cmp(node a, node b)
{
return a.v < b.v;
}
inline void make_set(int x)
{
father[x] = x;
ran[x] = 0;
}
inline int find(int x)
{ //压缩路径的查找
if (father[x] == x)
{ //如果自己的父节点是自己，那么x 结点就是根结点
return x;
}
return find(father[x]); // 返回父结点的根结点
}
inline int merge(int x, int y, int v)//按秩合并
{
x = find(x);
y = find(y);
if (x == y)
return 0;
ans += v;
if (ran[x] > ran[y])
{
father[y] = x;
}
else
{
father[x] = y;
if (ran[x] == ran[y])
{
ran[y]++;
}
}
return 1;
}
int main()
{
int n, m;
while (cin >> n && n)
{
ans = 0;
m = 0;
for (int i = 0; i <= n; i++)
{
make_set(i);
}
int x, y;
int v;
char a, b;
for (int i = 0; i < n - 1; i++)
{
cin >> a >> x;
for (int j = 0; j < x; j++)
{
cin >> b >> v;
qq[j + m].x = a - 'A';
qq[j + m].y = b - 'A';
qq[j + m].v = v;
/* code */
}
m += x;
}
sort(qq, qq + m, cmp);
int s = 0;
for (int i = 0; i < m; i++)
{
if (merge(qq[i].x, qq[i].y, qq[i].v))
{
s++;
}
if (s > n - 1)
{
break;
}
}
cout << ans << endl;
}
}