P3366 【模板】最小生成树（C++_(Prim算法_链式向前星)/(Kruskal算法_并查集)）

题目描述

如题，给出一个无向图，求出最小生成树，如果该图不连通，则输出 orz。

输入格式

第一行包含两个整数 N,M，表示该图共有 N 个结点和 M 条无向边。

接下来 M 行每行包含三个整数 $X_i,Y_i,Z_i$Xi​,Yi​,Zi​​，表示有一条长度为 $Z_i$Zi​​ 的无向边连接结点 $X_i,Y_i$Xi​,Yi​。

输出格式

如果该图连通，则输出一个整数表示最小生成树的各边的长度之和。如果该图不连通则输出 orz。

输入输出样例

输入 #1

4 5
1 2 2
1 3 2
1 4 3
2 3 4
3 4 3

输出 #1

7

说明/提示

数据规模：

对于 $20\%$20%的数据，$N\le 5$N≤5，$M\le 20$M≤20。

对于 $40\%$40% 的数据，$N\le 50$N≤50，$M\le 2500$M≤2500。

对于 $70\%$70% 的数据，$N\le 500$N≤500，$M\le 10^4$M≤104。

对于 $100\%$100%的数据：$1\le N\le 5000$1≤N≤5000，$1\le M\le 2\times 10^5$1≤M≤2×105。

样例解释：

所以最小生成树的总边权为 $2+2+3=7$2+2+3=7。

思路

关于链式向前星可以参考这篇博客图的存储模式——链式向前星，链式向前星是一种逆序存储后输入的先遍历，具体的过程看过那篇博客后应该就懂了，这个其实也有模板的，精华就是add函数，链式向前星模板如下：

void add(int u, int v, int w)//链式向前星存储(逆向存储)
{
	edge[++cnt].to = v;
	edge[cnt].w = w;
	edge[cnt].next = head[u];
	head[u] = cnt;
}

下面就是Prim算法，就像是大佬说的那样Prim算法其实和最短路中的dijkstra很像，不断地贪心地向外扩充…
图片转自最小生成树算法(有兴趣也可以康康这个博客,我就是从dalao这里学到的啦~~~)

Code1（Prim）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f
class node
{
public:
	int to, next, w;
}edge[400010];
int n, m, head[200010], dis[200010], cnt = 0, ans = 0, sum = 0, vis[200010], now = 1;
void add(int u, int v, int w)//链式向前星存储(逆向存储)
{
	edge[++cnt].to = v;
	edge[cnt].w = w;
	edge[cnt].next = head[u];
	head[u] = cnt;
}
int prim()
{
	memset(dis, INF, sizeof(dis));
	for (int i = head[1]; i; i = edge[i].next)
		dis[edge[i].to] = min(dis[edge[i].to], edge[i].w);//若两点之间出现多条边，只取最短的那条(图的重边)
	while (++sum < n)//一张图的边比节点少一
	{
		int minn = INF;
		vis[now] = 1;
		for(int i=1;i<=n;i++)
			if (!vis[i] && minn > dis[i])
			{
				minn = dis[i];
				now = i;
			}
		ans += minn;
		for (int i = head[now]; i; i = edge[i].next)
			if(dis[edge[i].to]> edge[i].w&&!vis[edge[i].to])//一个节点不能走两遍
				dis[edge[i].to] = edge[i].w;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	memset(head, 0, sizeof(head));
	int u, v, w;
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		cin >> u >> v >> w;
		add(u, v, w);
		add(v, u, w);
	}
	cout << prim();
	return 0;
}

Code2(Kruskal)

Kruskal算法的思想比Prin好理解一些。先把边按照权值进行排序，用贪心的思想优先选取权值较小的边，并依次连接，若出现环则跳过此边（用并查集来判断是否存在环）继续搜，直到已经使用的边的数量比总点数少一即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
class node
{
public:
	int u, v, w;
}edge[400010];
int n, m, f[5010], ans = 0, num = 0, t1, t2;
bool cmp(node a, node b){
	return a.w < b.w;
}
int find(int k)
{
	if (f[k] == k)
		return k;
	return f[k] = find(f[k]);
}
void kruskal()
{
	sort(edge + 1, edge + 1 + m, cmp);
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		t1 = find(edge[i].u);
		t2 = find(edge[i].v);
		if (t1 == t2)
			continue;
		ans += edge[i].w;
		f[t1] = t2;
		if (++num == n - 1)//最小生成树的边比节点少一
			break;
	}
}

int main()
{
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		f[i] = i;//初始化并查集
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		cin >> edge[i].u >> edge[i].v >> edge[i].w;
	kruskal();
	cout << ans;
	return 0;
}