算法之素数筛法

<1>方法一

//判断是否是一个素数
int IsPrime(int a){
    //0,1，负数都是非素数
    if(a <= 1){
        return 0;
    }
    //计算枚举上界，为防止double值带来的精度损失，所以采用根号值取整后再加1，即宁愿多枚举一个，也不愿少枚举一个数
    int bound = (int)sqrt(a) + 1;
    for(int i = 2;i < bound;i++){
        //依次枚举这些数能否整除x，若能则必不是素数
        if(a % i == 0){
            return 0;
        }
    }
    return 1;
}

 

<2>方法二

 

#define MAXSIZE 10001
 
int Mark[MAXSIZE];
int prime[MAXSIZE];
 
//判断是否是一个素数  Mark 标记数组 index 素数个数
int Prime(){
	int index = 0;
	memset(Mark,0,sizeof(Mark));
	for(int i = 0;i < MAXSIZE;i++){
		//已被标记
		if(Mark[i] == 1){
			continue;
		}
		else{
			//否则得到一个素数
			prime[index++] = i;
			//标记该素数的倍数为非素数
			for(int j = i*i;j < MAXSIZE;j += i){
				Mark[j] = 1;
			}
		}
	}
	return index;
}

<3>方法三

这种方法比较好理解，初始时，假设全部都是素数，当找到一个素数时，显然这个素数乘上另外一个数之后都是合数

把这些合数都筛掉，即算法名字的由来。但仔细分析能发现，这种方法会造成重复筛除合数，影响效率。

比如30，在i=2的时候，k=2*15筛了一次；在i=5，k=5*6 的时候又筛了一次。所以，也就有了快速线性筛法。

int Mark[MAXSIZE];
int prime[MAXSIZE];
 
//判断是否是一个素数  Mark 标记数组 index 素数个数
int Prime(){
    int index = 0;
    memset(Mark,0,sizeof(Mark));
    for(int i = 2; i < MAXSIZE; i++)
    {
        //如果未标记则得到一个素数
        if(Mark[i] == 0){
            prime[index++] = i;
        }
        //标记目前得到的素数的i倍为非素数
        for(int j = 0; j < index && prime[j] * i < MAXSIZE; j++)
        {
            Mark[i * prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j] == 0){
                break;
            }
        }
    }
    return index;
}

利用了每个合数必有一个最小素因子。每个合数仅被它的最小素因子筛去正好一次。所以为线性时间。
代码中体现在：
if(i%prime[j]==0)break;
prime数组 中的素数是递增的,当 i 能整除 prime[j]，那么 i*prime[j+1] 这个合数肯定被 prime[j] 乘以某个数筛掉。
因为i中含有prime[j], prime[j] 比 prime[j+1] 小。接下去的素数同理。所以不用筛下去了。
在满足i%prme[j]==0这个条件之前以及第一次满足改条件时,pr[j]必定是pr[j]*i的最小因子。

 

参考博文：点击打开链接

习题练习：点击打开链接