对B树、B+树、的一些认识
1 、为何需要B树
在大规模数据存储中，实现索引查询这样一个实际背景下，树节点存储的元素数量是有限的（如果元素数量非常多的话，查找就退化成节点内部的线性查找了），这样导致二叉查找树结构由于树的深度过大而造成磁盘I/O读写过于频繁，进而导致查询效率低下，那么减少树的深度的一个基本的想法就是：采用多叉树结构。磁盘查找存取的次数往往由树的高度所决定，所以，只要我们通过某种较好的树结构减少树的结构尽量减少树的高度，那么便可以有效减少磁盘查找存取的次数。
根据平衡二叉树可以联想到平衡多路查找树结构，也就是B树。
磁盘上数据必须用一个三维地址唯一标示：柱面号、盘面号、块号(磁道上的盘块)。读/写磁盘上某一指定数据需要3个步骤：
(1) 首先移动臂根据柱面号使磁头移动到所需要的柱面上，这一过程被称为定位或查找 。
(2) 所有磁头都定位到了10个盘面的10条磁道上(磁头都是双向的)。这时根据盘面号来确定指定盘面上的磁道。
(3) 盘面确定以后，盘片开始旋转，将指定块号的磁道段移动至磁头下。
当访问某一具体信息，由3部分时间组成：
● 查找时间(seek time) Ts: 完成上述步骤(1)所需要的时间。这部分时间代价最高，最大可达到0.1s左右。
● 等待时间(latency time) Tl: 完成上述步骤(3)所需要的时间。由于盘片绕主轴旋转速度很快，一般为7200转/分(电脑硬盘的性能指标之一, 家用的普通硬盘的转速一般有5400rpm(笔记本)、7200rpm几种)。因此一般旋转一圈大约0.0083s。
● 传输时间(transmission time) Tt: 数据通过系统总线传送到内存的时间，一般传输一个字节(byte)大概0.02us=2*10^(-8)s
磁盘读取数据是以盘块(block)为基本单位的。位于同一盘块中的所有数据都能被一次性全部读取出来。而磁盘IO代价主要花费在查找时间Ts上。因此我们应该尽量将相关信息存放在同一盘块，同一磁道中。或者至少放在同一柱面或相邻柱面上，以求在读/写信息时尽量减少磁头来回移动的次数，避免过多的查找时间Ts。所以正好适用所说的B树，减小深度，即可减小搜索的时间。
2、B树
B 树是为了磁盘或其它存储设备而设计的一种多叉（B树每个内结点有多个分支，即多叉）平衡查找树。。许多数据库系统都一般使用B树或者B树的各种变形结构来存储信息。
树与红黑树最大的不同在于，B树的结点可以有许多子女。和红黑树一样，一棵含n个结点的B树的高度也为O（lgn），但可能比一棵红黑树的高度小许多，应为它的分支因子比较大。所以，B树可以在O（logn）时间内，实现各种如插入（insert），删除（delete）等动态集合操作。
如上图所示，即是一棵B树，一棵关键字为英语中辅音字母的B树，现在要从树种查找字母R（包含n[x]个关键字的内结点x，x有n[x]+1]个子女（也就是说，一个内结点x若含有n[x]个关键字，那么x将含有n[x]+1个子女）。所有的叶结点都处于相同的深度，带阴影的结点为查找字母R时要检查的结点）。
用阶定义的B树
B 树又叫平衡多路查找树。一棵m阶的B 树 (注：切勿简单的认为一棵m阶的B树是m叉树，虽然存在四叉树，八叉树，KD树，及vp/R树/R*树/R+树/X树/M树/线段树/希尔伯特R树/优先R树等空间划分树，但与B树完全不等同)的特性如下：
-
树中每个结点最多含有m个孩子（m>=2）；
-
除根结点和叶子结点外，其它每个结点至少有[ceil(m / 2)]个孩子（其中ceil(x)是一个取上限的函数）；
-
若根结点不是叶子结点，则至少有2个孩子（特殊情况：没有孩子的根结点，即根结点为叶子结点，整棵树只有一个根节点）；
-
所有叶子结点都出现在同一层，叶子结点不包含任何关键字信息(可以看做是外部接点或查询失败的接点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针都为null)；
-
每个非终端结点中包含有n个关键字信息： (n，P0，K1，P1，K2，P2，......，Kn，Pn)。其中：
a) Ki (i=1...n)为关键字，且关键字按顺序升序排序K(i-1)< Ki。
b) Pi为指向子树根的接点，且指针P(i-1)指向子树种所有结点的关键字均小于Ki，但都大于K(i-1)。
c) 关键字的个数n必须满足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1。如下图所示：
-
也可以这样理解：每个非根的内结点至多有m个子女，每个非根的结点必须至少含有m-1个关键字，如果树是非空的，则根结点至少包含一个关键字；
-
每个结点可包含至多2m-1个关键字。所以一个内结点至多可有2m个子女。如果一个结点恰好有2m-1个关键字，我们就说这个结点是满的。
-
当关键字数m=2（t=2的意思是，Mmin=2，m可以>=2）时的B树是最简单的（有很多人会因此误认为B树就是二叉查找树，但二叉查找树就是二叉查找树，B树就是B树，B树是一棵含有m（m>=2）个关键字的平衡多路查找树），此时，每个内结点可能因此而含有2个、3个或4个子女，亦即一棵2-3-4树，然而在实际中，通常采用大得多的t值。
3 B 树的类型和节点定义：
#define m 1024
struct BTNode;
typedef struct BTNode* PBTNode;
struct BTNode{
int keyNum;//实际关键字个数，keyNum<m
PBTNode parent;//指向父节点
PBTNode *ptr;//子树指针向量；
KeyType *key;//关键字向量
}
typedef struct BTNode* BTree;
typedef BTree *PBTree;
在这里用少量数据构造一棵3叉树的形式，实际应用中的B树结点中关键字很多的。上面的图中比如根结点，其中17表示一个磁盘文件的文件名；小红方块表示这个17文件内容在硬盘中的存储位置；p1表示指向17左子树的指针。
typedef struct {
/*文件数*/
int file_num;
/*文件名(key)*/
char * file_name[max_file_num];
/*指向子节点的指针*/
BTNode * BTptr[max_file_num+1];
/*文件在硬盘中的存储位置*/
FILE_HARD_ADDR offset[max_file_num];
}BTNode;查找29时，可以有一下过程：
-
根据根结点指针找到文件目录的根磁盘块1，将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作 1次】
-
此时内存中有两个文件名17、35和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现：17<29<35，因此我们找到指针p2。
-
根据p2指针，我们定位到磁盘块3，并将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作 2次】
-
此时内存中有两个文件名26，30和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现：26<29<30，因此我们找到指针p2。
-
根据p2指针，我们定位到磁盘块8，并将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作 3次】
-
此时内存中有两个文件名28，29。根据算法我们查找到文件名29，并定位了该文件内存的磁盘地址。
发现一共需要3次磁盘IO操作和3次内存查找操作。IO操作是影响整个B树查找效率的决定因素。
B树的高度：
设B树某一个非叶子节点包含N个关键字，则该非叶子节点含有N+1个结点，所有的叶子结点在第Q层；
通过根至少有两个孩子，则第二层至少有两个结点，除根和叶子外，其他结点至少有ceil（m/2）个孩子，则第三层至少2*ceil(m/2)个孩子，第四层至少2*ceil(m/2^2)个孩子，可以类推，在第Q层至少2*ceil(m/2^（Q-2）)个结点，有N+1>=2*ceil(m/2^（Q-2）则Q<=log(ceil(m/2))(N+1)/2)+2;
当B树包含N个关键字时，B树的最大高度为l-1（因为计算B树高度时，叶结点所在层不计算在内），即：l - 1 = log┌m/2┐((N+1)/2 )+1
4 、B+树
是应文件系统所需产生的一种B树的变形树。
m阶的B+树和m阶的B树的异同点：
1、有n个子树的结点含有n-1个关键字；
2、所有叶子结点中包含了全部关键字的信息，以及所指向这关键字的指针，且由小到大顺序链接。
3、所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅包含有其子树根节点中最大或最小关键字。
B+树更适合实际应用中操作系统的文件索引和数据索引：理由如下
1、磁盘读写代价更低
B+树的内部结点没有指向关键字具体信息的指针，所以其内部结点比B树的小。可以一次性放入更多的关键字在一个盘块中，相对来说IO读写次数就降低了。
2、B+树的查询效率更稳定
B+树的非终结点不是最终指向文件内容的结点，只是叶子结点中关键字的索引，所以查找时走从根节点到叶子结点的路，所有的路径长度相同，每一个数据的查询效率相当。
书上还有其他的说明：{“B+树还有一个最大的好处，方便扫库，B树必须用中序遍历的方法按序扫库，而B+树直接从叶子结点挨个扫一遍就完了，B+树支持range-query非常方便，而B树不支持。这是数据库选用B+树的最主要原因。
比如要查 5-10之间的，B+树一把到5这个标记，再一把到10，然后串起来就行了，B树就非常麻烦。B树的好处，就是成功查询特别有利，因为树的高度总体要比B+树矮。不成功的情况下，B树也比B+树稍稍占一点点便宜。
B树比如你的例子中查，17的话，一把就得到结果了，有很多基于频率的搜索是选用B树，越频繁query的结点越往根上走，前提是需要对query做统计，而且要对key做一些变化。
另外B树也好B+树也好，根或者上面几层因为被反复query，所以这几块基本都在内存中，不会出现读磁盘IO，一般已启动的时候，就会主动换入内存。}
mysql 底层存储是用B+树实现的，知道为什么么。内存中B+树是没有优势的，但是一到磁盘，B+树的威力就出来了
5 B*树
在B+树的基础上，增加了非根和非叶子结点的兄弟指针，定义了非叶子结点关键字的个数至少2/3*M,即块的使用率为2/3
,比B+树的1/2高。
B*树的空间使用率高：
B*树增加结点时，当一个结点满时，如果他的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据转移到兄弟结点中，再在原节点插入关键字，然后修改结点中兄弟结点的关键字。如果兄弟结点也满了，则在原节点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父节点增加新结点的指针。
B+ 树增加结点时，当一个结点满了，分配一个新的结点，并各复制1/2的数据到新结点，最后旨在父节点增加新结点的指针。
6、删除和增加元素
围绕一句话 ：关键字少于两个就合并，多余4个就分裂。还有一点，除根节点之外的结点的关键字的个数n必须满足：(ceil(m/2)-1)<=n<=m-1.m表示最多含有m个孩子，n表示关键字数。
7、
B树：有序数组+平衡多叉树；
B+树：有序数组链表+平衡多叉树；
B*树：一棵丰满的B+树。