关于SICP中练习3.66
起初在做这题的时候，第一时间想到的是写一个迭代过程和一个计数器相互配合，循环地比较pairs流中每个数对，当和(1, 100)或是(100, 100)相等的时候，就把计数器的值输出就可以了（假设是从0开始标记第一个数对的）。但是理想很丰满，现实很骨感。前者(1, 100)能按照这个思路很快就可以得出答案来（197），但是后者直接内存溢出了，说明这个序对应该排在非常得后面。正如我下面的分析，也证实了这一点。
首先，我们来写一个辅助打印的过程，这样就能比较容易地找出规律了，永远记住一点，把弱智又烦人的事情交给计算机去做，从而把自己的精力解放出来花在更有意义的事情上。
; 同时打印 m个流的前 n 项
(define (show-streams n . streams)
(if (accumulate
(lambda (a b) (or a b))
#f
(cons (= n 0) (map stream-null? streams)))
(newline)
(begin
(display-line (map stream-car streams))
(apply show-streams (cons (- n 1) (map stream-cdr streams))))))
有了这个辅助过程，我们就可以这样做：
(show-streams 17 (cons-stream 0 integers) (pairs integers integers))
这样找规律的时候就轻松多了。比如我上面的这行代码，就从第0号序对开始，一直分行打印到了第16号序对。
然后按照书上的逻辑，我们可以设一个二元整标函数 f(i, j)，而i与j合起来就是所对应的序对，而函数值就是这个序对在流pairs中的位置。将这些函数值放在如书本236页中类似的二维网格图中时，我们不难总结出 f(i, j) 函数的如下约束：
f(i+1, j+1) = 2*[f(i, j) + 1]
f(0, j) = 2j - 1
f(0, 0) = 0
(i, j ∈ N+) & (i =< j)
于是，我们惊奇地发现，这是一个二阶偏差分方程。就这样，一道看似是CS的题目，其实本质是一道数学题。
我们首先观察一下这个偏差分方程
f(i+1, j+1) = 2[f(i, j) + 1]
当不去考虑它的约束条件时，发现其实它是一个关于变元对称的方程，比如将f(j, i)带入原方程，仍可以成立。这样就启发我们可以根据变元的对称性去解方程，分两种情况：
当 i = j 时，设 i = k，那么原方程就变成：
f(k+1, k+1) = 2*[f(k, k) + 1]
这样就可以再令 a(k) = f(k, k) ， 于是原方程可以化简成：
a(k+1) = 2*[a(k) + 1] 并且 a(0) = f(0, 0) = 0
上面这个方程我想高中生都应该会解了吧，那我就直接给答案了：
f(i,j) = 2^(i+1) - 2 (当 i = j)
当 i < j 时 , 可设 k = j - i
然后观察原方程与边界条件 f(0, j) = 2j - 1 后不难发现，k其实递归到最后就变成边界条件上的一个常数了。因此，可以再将原方程化简为：
f(i, i+k) = 2[f(i-1, i-1+k) + 1]
这样就可以再令 a(i) = f(i, i+k) ， 于是原方程可以化简成：
a(i) = 2*[a(i-1) + 1] 并且 a(0) = f(0, k) = 2k - 1
上面是一个一阶线性非齐次常差分方程，于是可以求得其通解为：
a(i) = C2^i - 2
然后根据 a(0) = 2k - 1 可以得到 C = 2k + 1 = 2*(j - i) + 1
所以得到：
f(i,j) = [2*(j - i) + 1]*2^i - 2 (当 i < j)
宗上可得：
f(i,j) = 2^(i+1) - 2 (当 i = j)
[2*(j - i) + 1]*2^i - 2 (当 i < j)
但是，习题中的 (pairs integers integers) 里的 integers 流是从 1 开始展开的，所以，上述公式如果要直接用在练习中还需加一个自变量的线性变换，令：
p = i + 1
q = j + 1
于是我们有：
g(p, q) = 2^p - 2 (当 p = q)
[2*(p - q) + 1]*2^(p-1) - 2 (当 p < q)
于是可以得到：
g(1, 100) = 197
g(100, 100) = 2^100 - 2
可见真的好大，怪不得内存会溢出。