python徒手实现反向传播算法

1. 项目背景

假设有如上图所示的全连接神经网络，该网络共有三层L1、L2、L3，输入层为X。每层输出经过Sigmoid**函数。

其中X为100*3的矩阵，即表示有100个样本，每个样本有3个特征。L1层有5个神经元，L2层有8个神经元，L3有10个神经元。y为100*1的向量，是数据集X对应的标签。W1，W2，W3矩阵形状如图所示。

 

2. 导入所需的库

import numpy as np
import pandas as pd

for i in [np, pd]:
    print(i.__name__,": ",i.__version__,sep="")

输出：

numpy: 1.17.4
pandas: 0.25.3

3. 导入数据

根据如上所述，X为1003的矩阵，y为1001的矩阵

df = pd.read_csv("admission.txt")

# 构造X和y
X = df[["Exam1","Exam2","Exam3"]].as_matrix()
y = df["Admitted"].as_matrix().reshape(100,1)
print(X.shape, y.shape)

输出：

(100, 3) (100, 1)

print(X[:5])
print(y[:5])

[[34.62365962 78.02469282 56.32417622]
 [30.28671077 43.89499752 37.09085415]
 [35.84740877 72.90219803 54.3748034 ]
 [60.18259939 86.3085521  73.24557574]
 [79.03273605 75.34437644 77.18855624]]
[[0]
 [0]
 [0]
 [1]
 [1]]

4. 前向传播

注意：为了方便计算与推导，省略偏置项b。对于偏置项b，在实际应用中可以在数据集第一列添加全1的方式进行处理，则在训练的模型结果参数W中第一行即是b的值。

4.1 Sigmoid函数

Sigmoid函数用f(x)表示，则f(x)及其导数如公式(1)所示：

 

def Sigmoid(x):
    return 1/(1+np.exp(-x))

def SigmoidPrime(y):
    return y*(1-y)

4.2 初始化权重W

根据上面的分析，W1是3*5的矩阵，W2是5*8的矩阵，W3是8*1的矩阵

np.random.seed(1)  # 指定随机种子，方便复现

W1 = 2 * np.random.random((3,5))-1  # random函数默认返回（0，1）区间上的值
W2 = 2 * np.random.random((5,8))-1
W3 = 2 * np.random.random((8,1))-1

for i in [W1, W2, W3]:
    print(i.shape)

输出：

(3, 5)
(5, 8)
(8, 1)

4.3 各层输出

• 输入层：X=X，X为100*3的矩阵
• L1层：L1=f(XW1)，L1为100*5的矩阵
• L2层：L2=f(L1W2)，L2为100*8的矩阵
• L3层：L3=f(L2W3)，L3为100*1的矩阵

L1 = Sigmoid(np.dot(X,W1))
L2 = Sigmoid(np.dot(L1,W2))
L3 = Sigmoid(np.dot(L2,W3))

5. 反向传播

5.1 损失函数

定义模型的目标函数（即损失函数）为均方误差，即：

根据误差反向传播的思想，需要求出损失函数关于W1、W2和W3的偏导数，再根据偏层数进行W参数的更新。

5.2 求偏导

求导过程中注意：

• a. 矩阵点乘（矩阵元素对应位置相乘）和矩阵乘法的区别(上式中绿色标部分)。
• b. 注意矩阵求导法则(上式中红色标注部分)：

为了简化上式的书写及方便python编程，令：

 

则根据(5)式，(3)式中的偏导数可表示为：

 

5.3 反向传播过程

error = L3 - y
delta3 = error * SigmoidPrime(L3)
delta2 = delta3.dot(W3.T)*SigmoidPrime(L2)
delta1 = delta2.dot(W2.T)*SigmoidPrime(L1)
 
W3 -= alpha * np.dot(L2.T, delta3)
W2 -= alpha * np.dot(L1.T, delta2)
W1 -= alpha * np.dot(X.T, delta1) 

6. 完整代码训练

import numpy as np
import pandas as pd


iterations = 500000   # 设置迭代次数
alpha = 0.1  # 设置学习率

def Sigmoid(x):
    return 1/(1+np.exp(-x))

def SigmoidPrime(y):
    return y*(1-y)

df = pd.read_csv("admission.txt")
# 构造X和y
X = df[["Exam1","Exam2","Exam3"]].as_matrix()
y = df["Admitted"].as_matrix().reshape(100,1)

W1 = 2 * np.random.random((3,5))-1  # random函数默认返回（0，1）区间上的值
W2 = 2 * np.random.random((5,8))-1
W3 = 2 * np.random.random((8,1))-1

for i in range(iterations):
    L1 = Sigmoid(np.dot(X,W1))
    L2 = Sigmoid(np.dot(L1,W2))
    L3 = Sigmoid(np.dot(L2,W3))
    
    error = L3 - y
    delta3 = error * SigmoidPrime(L3)
    delta2 = delta3.dot(W3.T)*SigmoidPrime(L2)
    delta1 = delta2.dot(W2.T)*SigmoidPrime(L1)
 
    W3 -= alpha * np.dot(L2.T, delta3)
    W2 -= alpha * np.dot(L1.T, delta2)
    W1 -= alpha * np.dot(X.T, delta1) 
    if i%10000 == 0:
        print("Error:",np.mean(np.abs(error)))

输出：

Error: 0.4744584876195863
Error: 0.47999999998146775
Error: 0.47999999998126625
Error: 0.47999999998106035
Error: 0.47999999998084986
Error: 0.4799999999806344
Error: 0.4799999999804141
Error: 0.47999999998018855
Error: 0.479999999979958
Error: 0.4799999999797217
Error: 0.47999999997947973
Error: 0.479999999979232
Error: 0.4799999999789782
Error: 0.47999999997871784
Error: 0.479999999978451
Error: 0.4799999999781772
Error: 0.4799999999778965
Error: 0.4799999999776082
Error: 0.4799999999773125
Error: 0.4799999999770086
Error: 0.4799999999766964
Error: 0.47999999997637555
Error: 0.47999999997604553
Error: 0.4799999999757064