1和0.9的循环关系

由1/3引发的悖论

0.9的循环等于1

1/3 = 0.33333...（无限循环）
1/3 * 3 = 1
0.3333... * 3 = 0.99999...（无限循环）

那么： 1 = 0.99999...（无限循环）

如上的证明，1/3 乘以 3 等于 1， 而 0.3的循环乘以3得到的结果就是0.9的循环，那么 1 与 0.9的循环相等.

0.9的循环不等于1

0.9的循环可以表示为 0.9 + 0.09 + 0.009 + … + 0.00…009，由此：

定义一个数列 a₁ = 0.9，q = 0.1 的数列

则有 a₁ = 0.9， a₂ = 0.09，a₃ = 0.009

于是有 S_n = 0.999999…（无限循环）= a₁ + a₂ +… + a_n

由此，S_n = a₁ (1 - qⁿ) / (1 - q) = 0.9 ( 1 - 0.1_n ) / (1 - 0.1) = 1 - 0.1ⁿ

那么可以定义函数： f(x) = 1 - 0.1^x

可以作图：

由上图可知 f(x) 将无限趋近于 1，即 0.9的循环不等于1

0.9的循环与1 产生的悖论

综上所述，0.9的循环和1即相等，又不相等。我不敢放大胆了说，感觉我的知识体系出现了问题，他们矛盾了，怕怕。

---

如果有错，欢迎指出。

邮箱：[e-mail]