自动控制--控制系统时域分析篇

本博文通过实例对控制系统建模进行介绍，展示使用MATLAB对控制系统进行时域分析，其每个传递函数这是用作例子展示，其合理性还需完善，但其目的是让同学们学会控制系统的时域分析方法。

1. 控制系统的方框图。
   

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2. 时域分析代码区
   ① 先用系统建模方法，建立系统模型

%建立系统模型
G1=tf([1],[1 0]);
G2=tf([1],[1 1]);
H=1;

%系统连接
G12=series(G1,G2);
GH=feedback(G12,H,-1)  %控制系统闭环函数

%系统模型如下：
GH =
 
       1
  -----------
  s^2 + s + 1
 
Continuous-time transfer function.

② 由上可知，控制系统模型为$\Phi(s)=\frac{1}{s^2+s+1}$Φ(s)=s2+s+11​，进行系统稳定性分析和时域分析
a.稳定性分析

%系统稳定性分析
den=[1 1 1];  %特征方程的系数
p=roots(den)  %获取特征根，判断系统稳定性

%系统的特征根均具有负实部，故系统稳定
p =

  -0.5000 + 0.8660i
  -0.5000 - 0.8660i

b.单位脉冲响应

%系统的时域分析
t=0:0.01:15;   %设定仿真时间为15s

%系统的单位脉冲响应
figure(1)
impulse(GH,t);grid
xlabel('t');ylabel('c(t)');title('impulse response');

c.单位阶跃响应

%系统的时域分析
t=0:0.01:15;   %设定仿真时间为15s

%系统的单位阶跃响应
figure(2)
step(GH,t);grid
xlabel('t');ylabel('c(t)');title('step response');

d.单位斜坡响应

%系统的时域分析
t=0:0.01:15;   %设定仿真时间为15s

%系统的单位斜坡响应
figure(3)
u=t;
lsim(GH,u,t,0);grid
xlabel('t');ylabel('c(t)');title('ramp response');

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3. 稳定性和时域分析知识点剖析
   ① 稳定性分析
   线性系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部。
   命令格式：$p=roots(den)$p=roots(den)
   $其中：den为特征多项式降幂排列的系数向量；p为特征根。$其中：den为特征多项式降幂排列的系数向量；p为特征根。
   ② 时域分析
   a.单位脉冲响应
   命令格式：$c(t)=impulse(sys,t)$c(t)=impulse(sys,t)
   $其中：impulse为脉冲响应；t为仿真时间，可以缺省。$其中：impulse为脉冲响应；t为仿真时间，可以缺省。
   b.单位阶跃响应
   命令格式：$c(t)=step(sys,t)$c(t)=step(sys,t)
   $其中：step是阶跃响应；t为仿真时间，可以缺省。$其中：step是阶跃响应；t为仿真时间，可以缺省。
   c.任意输入响应
   命令格式：$c(t)=lsim(sys,u,t,x0)$c(t)=lsim(sys,u,t,x0)
   $其中：lsim可绘制任意输入响应曲线；u表示输入，如单位斜坡表示为u=t；x0设定初始状态，缺省时为0；t用于设定仿真时间，可以缺省。$其中：lsim可绘制任意输入响应曲线；u表示输入，如单位斜坡表示为u=t；x0设定初始状态，缺省时为0；t用于设定仿真时间，可以缺省。

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4. 延伸知识点
   a.动态性能
   定义：描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间$t$t的变化状况的指标，称为动态性能指标，如下图：
   
   $其中：$其中：
   $上升时间t_r：指响应从零第一次上升到终值的90\%所需的时间；对于有振荡系统，定义为响应从零第一次上升到终值所需时间；上升时间越短，响应速度越快$上升时间tr​：指响应从零第一次上升到终值的90%所需的时间；对于有振荡系统，定义为响应从零第一次上升到终值所需时间；上升时间越短，响应速度越快
   $峰值时间t_p：指响应超过其终值到达第一个峰值的时间。$峰值时间tp​：指响应超过其终值到达第一个峰值的时间。
   $调节时间t_s：指响应到达并保持在终值±5\%或±2\%内所需的最短时间。$调节时间ts​：指响应到达并保持在终值±5%或±2%内所需的最短时间。
   $超调量\sigma\%：指响应的最大偏移量c(t_p)与终值c(\infty)的差与终值c(\infty)比的百分数，即$超调量σ%：指响应的最大偏移量c(tp​)与终值c(∞)的差与终值c(∞)比的百分数，即
   $\sigma\%=\frac{c(t_p)-c(\infty)}{c(\infty)}\times100\%$σ%=c(∞)c(tp​)−c(∞)​×100%
   $用t_r或t_p评价系统的响应速度；$用tr​或tp​评价系统的响应速度；
   $用\sigma\%评价系统的阻尼程度；$用σ%评价系统的阻尼程度；
   $t_s同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。$ts​同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。
   b.欠阻尼二阶系统单位阶跃响应计算
   二阶系统标准形式：
   $\Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n+\omega_n}$Φ(s)=R(s)C(s)​=s2+2ζωn​+ωn​ωn2​​
   欠阻尼二阶系统单位阶跃响应：
   $c(t)=1-e^{-\zeta\omega_nt}\sin(\omega_dt+\beta)，t\geq0$c(t)=1−e−ζωn​tsin(ωd​t+β)，t≥0
   $式中：\beta=\arctan(\sqrt{1-\zeta^2}/\zeta)，或者\beta=\arccos\zeta$式中：β=arctan(1−ζ2​/ζ)，或者β=arccosζ；$\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ωd​=ωn​1−ζ2​
   c.欠阻尼二阶系统单位阶跃动态性能指标计算
   ① 上升时间$t_r$tr​
   $t_r=\frac{\pi-\beta}{\omega_d}$tr​=ωd​π−β​
   注：
   当阻尼比$\zeta一定时，阻尼角\beta$ζ一定时，阻尼角β不变，系统的响应速度与$\omega_n成正比；$ωn​成正比；
   $而当阻尼振荡频率\omega_d一定时，阻尼比越小，上升时间越短。$而当阻尼振荡频率ωd​一定时，阻尼比越小，上升时间越短。
   ② 峰值时间$t_p$tp​
   $t_p=\frac{\pi}{\omega_d}$tp​=ωd​π​
   注：
   $峰值时间等于阻尼振荡周期的一半，或峰值时间与闭环极点的虚部数值成反比；$峰值时间等于阻尼振荡周期的一半，或峰值时间与闭环极点的虚部数值成反比；
   $当阻尼比一定时，闭环极点离负实轴的距离越远，系统的峰值时间越短。$当阻尼比一定时，闭环极点离负实轴的距离越远，系统的峰值时间越短。
   ③ 超调量$\sigma\%$σ%
   $\sigma\%=e^{\frac{-\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\times100\%$σ%=e1−ζ2​−πζ​×100%
   注：
   $超调量\sigma\%仅是阻尼比\zeta的函数，而与自然频率\omega_n无关；$超调量σ%仅是阻尼比ζ的函数，而与自然频率ωn​无关；
   $阻尼比越大，超调量越小。$阻尼比越大，超调量越小。
   ④ 调节时间$t_s$ts​
   $误差带取\Delta=0.05$误差带取Δ=0.05：
   $t_s=\frac{3.5}{\zeta\omega_n}$ts​=ζωn​3.5​
   $误差带取\Delta=0.02$误差带取Δ=0.02：
   $t_s=\frac{4.4}{\zeta\omega_n}$ts​=ζωn​4.4​

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5. 综合训练题
   $已知系统的闭环传递函数\Phi=\frac{16}{s^2+8{\zeta}s+16}，其中\zeta=0.707。判断该系统的稳定性，$已知系统的闭环传递函数Φ=s2+8ζs+1616​，其中ζ=0.707。判断该系统的稳定性，$求二阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应、单位斜坡响应，sint输入的响应。$求二阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应、单位斜坡响应，sint输入的响应。
   a.判断系统的稳定性

%建立控制系统模型
zeta=0.707;
num=[16];den=[1 8*zeta 16];
G=tf(num,den);

%判断系统稳定性
p=roots(den)

%具有负实部，系统稳定
p =

  -2.8280 + 2.8289i
  -2.8280 - 2.8289i

b.系统的单位脉冲响应

%系统单位脉冲响应
t=0:0.01:3;
figure(1)
impulse(G,t);grid
xlabel('t');ylabel('c(t)');title('impulse response');

c.系统的单位阶跃响应

%系统单位阶跃响应
t=0:0.01:3;
figure(2)
step(G,t);grid
xlabel('t');ylabel('c(t)');title('step response');

d.系统的单位斜坡响应

%系统单位斜坡响应
t=0:0.01:3;
figure(3)
u=t;
lsim(G,u,t,0);grid
xlabel('t');ylabel('c(t)');title('ramp response');

e.正弦输入sint的响应

%正弦输入响应
figure(4)
t_2=0:0.01:10;
u_2=sin(t_2);
lsim(G,u_2,t_2,0);grid
xlabel('t');ylabel('c(t)');title('sin response');

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6. 小结