欢迎您访问程序员文章站本站旨在为大家提供分享程序员计算机编程知识!
您现在的位置是: 首页

OpenGL矩阵和坐标变换

程序员文章站 2023-12-25 08:29:45
...


第三课:矩阵

*引擎推动的不是飞船而是宇宙。飞船压根就没动过。* 《飞出个未来》

这是所有课程中最重要的一课。至少得看八遍。

齐次坐标(Homogeneous coordinates)

目前为止,我们仍然把三维顶点视为三元组(x,y,z)。现在引入一个新的分量w,得到向量(x,y,z,w)。请先记住以下两点(稍后我们会给出解释):

  • 若w==1,则向量(x, y, z, 1)为空间中的点。
  • 若w==0,则向量(x, y, z, 0)为方向。

(请务必将此牢记在心。)

二者有什么区别呢?对于旋转,这点区别倒无所谓。当您旋转点和方向时,结果是一样的。但对于平移(将点沿着某个方向移动)情况就不同了。”平移一个方向”是毫无意义的。

齐次坐标使得我们可以用同一个公式对点和方向作运算。

变换矩阵(Transformation matrices)

矩阵简介

简而言之,矩阵就是一个行列数固定的、纵横排列的数表。比如,一个2x3矩阵看起来像这样:

OpenGL矩阵和坐标变换

三维图形学中我们只用到4x4矩阵,它能对顶点(x,y,z,w)作变换。这一变换是用矩阵左乘顶点来实现的:

矩阵x顶点(记住顺序!!矩阵左乘顶点,顶点用列向量表示)= 变换后的顶点

OpenGL矩阵和坐标变换

这看上去复杂,实则不然。左手指着a,右手指着x,得到ax。 左手移向右边一个数b,右手移向下一个数y,得到by。依次类推,得到czdw。最后求和ax + by + cz + dw,就得到了新的x!每一行都这么算下去,就得到了新的(x, y, z, w)向量。

这种重复无聊的计算就让计算机代劳吧。

用C++,GLM表示:

glm::mat4 myMatrix;
glm::vec4 myVector;
// fill myMatrix and myVector somehow
glm::vec4 transformedVector = myMatrix * myVector; // Again, in this order ! this is important.

用GLSL表示:

mat4 myMatrix;
vec4 myVector;
// fill myMatrix and myVector somehow
vec4 transformedVector = myMatrix * myVector; // Yeah, it's pretty much the same than GLM

(还没把这些代码粘贴到程序里调试吗?赶紧试试!)

平移矩阵(Translation matrices)

平移矩阵是最简单的变换矩阵。平移矩阵是这样的:

OpenGL矩阵和坐标变换

其中,X、Y、Z是点的位移增量。

例如,若想把向量(10, 10, 10, 1)沿X轴方向平移10个单位,可得:

OpenGL矩阵和坐标变换

(算算看!一定得亲手算!!)

这样就得到了齐次向量(20,10,10,1)!记住,末尾的1表示这是一个点,而不是方向。经过变换计算后,点仍然是点,这倒是挺合情合理的。

下面来看看,对一个代表Z轴负方向的向量作上述平移变换会得到什么结果:

OpenGL矩阵和坐标变换

还是原来的(0,0,-1,0)方向,这也很合理,恰好印证了前面的结论:”平移一个方向是毫无意义的”。

那怎么用代码表示平移变换呢?

用C++,GLM表示:

#include <glm/gtx/transform.hpp> // after <glm/glm.hpp>

glm::mat4 myMatrix = glm::translate(glm::mat4(), glm::vec3(10.0f, 0.0f, 0.0f));
glm::vec4 myVector(10.0f, 10.0f, 10.0f, 0.0f);
glm::vec4 transformedVector = myMatrix * myVector; // guess the result

用GLSL表示:呃,实际中我们几乎不用GLSL计算变换矩阵。大多数情况下在C++代码中用glm::translate()算出矩阵,然后把它传给GLSL。在GLSL中只做一次乘法:

vec4 transformedVector = myMatrix * myVector;

单位矩阵(Identity matrix)

单位矩阵很特殊,它什么也不做。单位矩阵的身份和自然数”1”一样基础而重要,因此在这里要特别提及一下。

OpenGL矩阵和坐标变换

用C++表示:

glm::mat4 myIdentityMatrix = glm::mat4(1.0);

缩放矩阵(Scaling matrices)

缩放矩阵也很简单:

OpenGL矩阵和坐标变换

例如把一个向量(点或方向皆可)沿各方向放大2倍:

OpenGL矩阵和坐标变换

w还是没变。您也许会问:”缩放一个向量”有什么用?嗯,大多数情况下是没什么用,所以一般不会去缩放向量;但在某些特殊情况下它就派上用场了。(顺便说一下,单位矩阵只是缩放矩阵的一个特例,其(X, Y, Z) = (1, 1, 1)。单位矩阵同时也是旋转矩阵的一个特例,其(X, Y, Z)=(0, 0, 0))。

用C++表示:

// Use #include <glm/gtc/matrix_transform.hpp> and #include <glm/gtx/transform.hpp>
glm::mat4 myScalingMatrix = glm::scale(2.0f, 2.0f ,2.0f);

旋转矩阵(Rotation matrices)

旋转矩阵比较复杂。这里略过细节,因为日常应用中,您并不需要知道矩阵的内部构造。 想了解更多,请看“矩阵和四元组常见问题”(这个资源很热门,应该有中文版吧)。

用C++表示:

// Use #include <glm/gtc/matrix_transform.hpp> and #include <glm/gtx/transform.hpp>
glm::vec3 myRotationAxis( ??, ??, ??);
glm::rotate( angle_in_degrees, myRotationAxis );

累积变换

前面已经学习了如何旋转、平移和缩放向量。把这些矩阵相乘就能将它们组合起来,例如:

TransformedVector = TranslationMatrix * RotationMatrix * ScaleMatrix * OriginalVector;

!!!注意!!!这行代码首先执行缩放,接着旋转,最后才是平移。这就是矩阵乘法的工作方式。

变换的顺序不同,得出的结果也不同。您不妨亲自尝试一下:

  • 向前一步(小心别磕着爱机)然后左转;
  • 左转,然后向前一步

实际上,上述顺序正是你在变换游戏角色或者其他物体时所需的:先缩放;再调整方向;最后平移。例如,假设有个船的模型(为简化,略去旋转):

  • 错误做法:

    • 按(10, 0, 0)平移船体。船体中心目前距离原点10个单位。
    • 将船体放大2倍。以原点为参照,每个坐标都变成原来的2倍,就出问题了。最后您得到的是一艘放大的船,但其中心位于2*10=20。这并非您预期的结果。
  • 正确做法:

    • 将船体放大2倍,得到一艘中心位于原点的大船。
    • 平移船体。船大小不变,移动距离也正确。

矩阵-矩阵乘法和矩阵-向量乘法类似,所以这里也会省略一些细节,不清楚的读者请移步矩阵和四元组常见问题 。现在,就让计算机来算:

用C++,GLM表示:

glm::mat4 myModelMatrix = myTranslationMatrix * myRotationMatrix * myScaleMatrix;
glm::vec4 myTransformedVector = myModelMatrix * myOriginalVector;

用GLSL表示:

mat4 transform = mat2 * mat1;
vec4 out_vec = transform * in_vec;

模型(Model)、观察(View)和投影(Projection)矩阵

在接下来的课程中,我们假定您已知如何绘制Blender经典模型小猴Suzanne。

利用模型、观察和投影矩阵,可以将变换过程清晰地分解为三个阶段。虽然此法并非必需(前两课我们就没用这个方法嘛),但采用此法较为稳妥。我们将看到,这种公认的方法对变换流程作了清晰的划分。

模型矩阵

这个三维模型和可爱的红色三角形一样,由一组顶点定义。顶点的XYZ坐标是相对于物体中心定义的:也就是说,若某顶点位于(0,0,0),则其位于物体的中心。

OpenGL矩阵和坐标变换

我们希望能够移动它,玩家也需要用键鼠控制这个模型。这很简单,只需记住:缩放旋转平移就够了。在每一帧中,用算出的这个矩阵去乘(在GLSL中乘,不是在C++中!)所有的顶点,物体就会移动。唯一不动的是世界空间(World Space)的中心。

OpenGL矩阵和坐标变换

现在,物体所有顶点都位于世界空间。下图中黑色箭头的意思是:从模型空间(Model Space)(顶点都相对于模型的中心定义)变换到世界空间(顶点都相对于世界空间中心定义)。

OpenGL矩阵和坐标变换

下图概括了这一过程:

OpenGL矩阵和坐标变换

观察矩阵

这里再引用一下《飞出个未来》:

*引擎推动的不是飞船而是宇宙。飞船压根就没动过。*

OpenGL矩阵和坐标变换

仔细想想,摄像机的原理也是相通的。如果想换个角度观察一座山,您可以移动摄像机也可以……移动山。后者在实际中不可行,在计算机图形学中却十分方便。

起初,摄像机位于世界坐标系的原点。移动世界只需乘一个矩阵。假如你想把摄像机向(X轴正方向)移动3个单位,这和把整个世界(包括网格)向(X轴负方向)移3个单位是等效的!脑子有点乱?来写代码吧:

// Use #include <glm/gtc/matrix_transform.hpp> and #include <glm/gtx/transform.hpp>
glm::mat4 ViewMatrix = glm::translate(glm::mat4(), glm::vec3(-3.0f, 0.0f, 0.0f));

下图展示了:从世界空间(顶点都相对于世界空间中心定义)到摄像机空间(Camera Space,顶点都相对于摄像机定义)的变换。

OpenGL矩阵和坐标变换

趁脑袋还没爆炸,来欣赏一下GLM强大的glm::LookAt函数吧:

glm::mat4 CameraMatrix = glm::LookAt(
    cameraPosition, // the position of your camera, in world space
    cameraTarget,   // where you want to look at, in world space
    upVector        // probably glm::vec3(0,1,0), but (0,-1,0) would make you looking upside-down, which can be great too
);

下图解释了上述变换过程:

OpenGL矩阵和坐标变换

好戏还在后头呢。

投影矩阵

现在,我们处于摄像机空间中。这意味着,经历了这么多变换后,现在一个坐标X==0且Y==0的顶点,应该被画在屏幕的中心。但仅有x、y坐标还不足以确定物体是否应该画在屏幕上:它到摄像机的距离(z)也很重要!两个x、y坐标相同的顶点,z值较大的一个将会最终显示在屏幕上。

这就是所谓的透视投影(perspective projection):

OpenGL矩阵和坐标变换

好在用一个4x4矩阵就能表示这个投影¹ :

// Generates a really hard-to-read matrix, but a normal, standard 4x4 matrix nonetheless
glm::mat4 projectionMatrix = glm::perspective(
    glm::radians(FoV), // The vertical Field of View, in radians: the amount of "zoom". Think "camera lens". Usually between 90&deg; (extra wide) and 30&deg; (quite zoomed in)
    4.0f / 3.0f,       // Aspect Ratio. Depends on the size of your window. Notice that 4/3 == 800/600 == 1280/960, sounds familiar ?
    0.1f,              // Near clipping plane. Keep as big as possible, or you'll get precision issues.
    100.0f             // Far clipping plane. Keep as little as possible.
);

最后一个变换:

从摄像机空间(顶点都相对于摄像机定义)到齐次坐空间(Homogeneous Space)(顶点都在一个小立方体中定义。立方体内的物体都会在屏幕上显示)的变换。

最后一幅图示:

OpenGL矩阵和坐标变换

再添几张图,以便大家更好地理解投影变换。投影前,蓝色物体都位于摄像机空间中,红色的东西是摄像机的平截头体(frustum):这是摄像机实际能看见的区域。

OpenGL矩阵和坐标变换

用投影矩阵去乘前面的结果,得到如下效果:

OpenGL矩阵和坐标变换

此图中,平截头体变成了一个正方体(每条棱的范围都是-1到1,图不太明显),所有的蓝色物体都经过了相同的变形。因此,离摄像机近的物体就显得大一些,远的显得小一些。这和现实生活一样!

让我们从平截头体的”后面”看看它们的模样:

OpenGL矩阵和坐标变换

这就是您得到的图像!看上去太方方正正了,因此,还需要做一次数学变换使之适合实际的窗口大小。

OpenGL矩阵和坐标变换

这就是实际渲染的图像啦!

复合变换:模型观察投影矩阵(MVP)

再来一连串深爱已久的标准矩阵乘法:

// C++ : compute the matrix
glm::mat4 MVPmatrix = projection * view * model; // Remember : inverted !
// GLSL : apply it
transformed_vertex = MVP * in_vertex;

总结

  • 第一步:创建模型观察投影(MVP)矩阵。任何要渲染的模型都要做这一步。
// Projection matrix : 45° Field of View, 4:3 ratio, display range : 0.1 unit <-> 100 units
glm::mat4 Projection = glm::perspective(glm::radians(45.0f), (float) width / (float)height, 0.1f, 100.0f);

// Or, for an ortho camera :
//glm::mat4 Projection = glm::ortho(-10.0f,10.0f,-10.0f,10.0f,0.0f,100.0f); // In world coordinates

// Camera matrix
glm::mat4 View = glm::lookAt(
    glm::vec3(4,3,3), // Camera is at (4,3,3), in World Space
    glm::vec3(0,0,0), // and looks at the origin
    glm::vec3(0,1,0)  // Head is up (set to 0,-1,0 to look upside-down)
    );

// Model matrix : an identity matrix (model will be at the origin)
glm::mat4 Model = glm::mat4(1.0f);
// Our ModelViewProjection : multiplication of our 3 matrices
glm::mat4 mvp = Projection * View * Model; // Remember, matrix multiplication is the other way around
  • 第二步:把MVP传给GLSL
// Get a handle for our "MVP" uniform
// Only during the initialisation
GLuint MatrixID = glGetUniformLocation(program_id, "MVP");

// Send our transformation to the currently bound shader, in the "MVP" uniform
// This is done in the main loop since each model will have a different MVP matrix (At least for the M part)
glUniformMatrix4fv(mvp_handle, 1, GL_FALSE, &mvp[0][0]);
  • 第三步:在GLSL中用MVP变换顶点
// Input vertex data, different for all executions of this shader.
layout(location = 0) in vec3 vertexPosition_modelspace;

// Values that stay constant for the whole mesh.
uniform mat4 MVP;

void main(){
  // Output position of the vertex, in clip space : MVP * position
  gl_Position =  MVP * vec4(vertexPosition_modelspace,1);
}
  • 搞定!三角形和第二课的一样,仍然在原点(0,0,0),然而是从点(4,3,3)透视观察的;摄像机的朝上方向为(0,1,0),视野(field of view)45°。

OpenGL矩阵和坐标变换

第6课中你会学到怎样用键鼠动态修改这些值,从而创建一个和游戏中类似的摄像机。但我们会先学给三维模型上色(第4课)、贴纹理(第5课)。

练习

  • 试着修改glm::perspective的参数
  • 试试用正交投影(orthographic projection )(glm::ortho)替换透视投影

  • 其他不变,把模型矩阵运算的顺序改成平移-旋转-缩放,会有什么变化?如果对一个人物作变换,您觉得什么顺序”最好”呢?

附注

  • *
  • 1 : […]好在用一个4x4矩阵就能表示这个投影:实际上,这句话并不正确。透视变换不是仿射(affine)的,因此,透视投影无法完全由一个矩阵表示。向量与投影矩阵相乘之后,齐次坐标的每个分量都要除以自身的W(透视除法)。W分量恰好是-Z(投影矩阵会保证这一点)。这样,离原点更远的点,除以了较大的Z值;其X、Y坐标变小,点与点之间变紧密,物体看起来就小了,这才产生了透视效果。

参考文章:http://www.opengl-tutorial.org/cn/beginners-tutorials/tutorial-3-matrices/

上一篇:

下一篇: