图及图的存储
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2023-12-24 11:41:21
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一、图的有关概念
1、什么是图
图是由顶点集合及顶点间的关系组成的一种数据结构:G = (V, E)
其中:顶点集合V = {x|x属于某个数据对象集}是有穷非空集合;
E = {(x,y)|x,y属于V}或者E = {<x, y>|x,y属于V && Path(x, y)}是顶点间关系的有穷集合,也叫做边的集合。
(x, y)表示x到y的一条双向通路,即(x, y)是无方向的; Path(x, y)表示从x到y的一条单向通路,即Path(x, y)是有方向的。
图分为无向图和有向图。
有向图和无向图:在有向图中,顶点对<x,
y>是有序的,顶点对<x,y>称为顶点x到顶点y的一条边(弧),<x, y>和<y, x>是两条不同的边。在无向图中,顶点对(x, y)是无序的,顶点对(x,y) 称为顶点x和顶点y相关联的一条边,这条边没有特定方向,(x, y)和(y,x)是同一条边。无向边 (x, y)等于有向边<x, y>和<y, x>。
2、顶点和边
如下图:
图中结点称为顶点,第i个顶点记作vi。
两个顶点vi和vj相关联,称作顶点vi和顶点vj之间有一条边,图中的第k条边记作ek,ek = (vi,vj)或<vi,vj>。
3、完全图
在有n个顶点的无向图中,
若有n*(n-1)/2条边,即任意两个顶点之间有且仅有一条边,则称此图为无向完全图;
在n个顶点的有向图中,
若有n*(n-1)条边,即任意两个顶点之间有且仅有方向相反的边,则称此图为有向完全图。
4、邻接顶点
4、邻接顶点
在无向图中,若(u, v)是E(G)中的一条边,则称u和v互为邻接顶点,并称边(u, v)依附于顶点u和v;
在有向图G中,若<u, v>是E(G)中的一条边,则称顶点u邻接到v,顶点v邻接自顶点u,并称边<u, v>与顶点u和顶点v相关联。
5、顶点的度
5、顶点的度
顶点v的度是指与它相关联的边的条数,记作deg(v)。
在有向图中,顶点的度等于该顶点的入度与出度之和,其中顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数,记作indev(v);
顶点v的出度是以v为起始点的有向边的条数,记作outdev(v)。
因此: dev(v) = indev(v) + outdev(v)
对于无向图,顶点的度等于该顶点的入度和出度,即dev(v) = indev(v) = outdev(v)
6、权与路径长度
路径:在图G = (V, E)中,若从顶点vi出发有一组边使其可到达顶点vj,则称顶点vi到顶点vj的顶点序列为从顶点vi到顶点vj的路径。
权:边附带的数据信息
所以路径长度指的就是,
对于不带权的图,一条路径的路径长度是指该路径上的边的条数;
对于带权的图,一条路径的路径长度是指该路径上各个边权值的总和。
7、子图
设图G = {V, E}和图G1 = {V1,E1},若V1属于V且E1属于E,则称G1是G的子图。
8、连通图与强连通图
8、连通图与强连通图
连通图:在无向图中,若从顶点v1到顶点v2有路径,则称顶点v1与顶点v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的,则称此图为连通图。
强连通图:在有向图中,若在每一对顶点vi和vj之间都存在一条从vi到vj的路径,也存在一条从vj到vi的路径,则称此图是强连通图。
9、生成树
强连通图:在有向图中,若在每一对顶点vi和vj之间都存在一条从vi到vj的路径,也存在一条从vj到vi的路径,则称此图是强连通图。
9、生成树
一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点和n1条边。
二、图的存储
1、邻接矩阵
我们在存储一个图时,不但要存储其顶点,还要存储好顶点之间的关系,也就是边。对于有向图来说,我们还要记录好边的方向。可以使用邻接矩阵来实现。
将所有顶点的信息组织成一个顶点表,然后利用一个矩阵来表示个顶点之间的邻接关系。
举例如下:
那带权的呢?把上图中的1改成各条边的权值即可,可将0(除过对角线)改为∞,如下:
由图可知:
无向图的邻接矩阵是对称的,第i行(列)元素之和,就是顶点i的度。
有向图的邻接矩阵则不一定是对称的。
简单实现图的邻接矩阵的存储,代码如下:
#pragma once
#include<vector>
#include<iostream>
using namespace std;
#include<assert.h>
template<class V, class W, bool IsDirect = false>
class Graph
{
public:
Graph(V *array, size_t size)
:_v(array, array + size)
{
/*v.resize(size);
for (size_t i = 0; i < size; ++i)
{
_v[i] = array[i];
}*/
//边的空间
_edges.resize(size);
for (size_t i = 0; i < size; i++)
_edges[i].resize(size);
}
//寻找顶点元素在数组中的下标
size_t GetIndexOfV(const V& v)
{
for (size_t i = 0; i < _v.size(); ++i)
{
if (v == _v[i])
return i;
}
//找不到,出错
assert(false);
return -1;
}
//求顶点的度
size_t GetDevOfV(const V& v)
{
size_t index = GetIndexOfV(v);
size_t count = 0;
for (size_t i = 0; i < _v.size(); i++)
{
if (_edges[index][i])
count++;
}
if (IsDirect)
{
//有向图
for (size_t i = 0; i < _v.size(); ++i)
{
if (_edges[i][index])
count++;
}
}
return count;
}
//带权值的边
void AddEdge(const V& v1, const V& v2, const W& weight)
{
size_t index1 = GetIndexOfV(v1);
size_t index2 = GetIndexOfV(v2);
_edges[index1][index2] = weight;
if (!IsDirect)
_edges[index2][index1] = weight;
}
void PrintGraph()
{
size_t n = _v.size();
for (size_t i = 0; i <n ; ++i)
{
cout << _v[i] << " ";
}
cout << endl;
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
for (size_t j = 0; j < n; ++j)
{
//cout << _edges[i][j];
printf(" %-2d", _edges[i][j]);
}
cout << endl;
}
}
private:
vector<V> _v; //顶点
vector<vector<W>> _edges; //边
};
测试一下:
void TestGraph()
{
char *pStr = "ABCDE";
Graph<char, int, true> g(pStr, strlen(pStr));
g.AddEdge('A', 'D', 10);
g.AddEdge('A', 'E', 20);
g.AddEdge('B', 'C', 10);
g.AddEdge('B', 'D', 20);
g.AddEdge('B', 'E', 30);
g.AddEdge('C', 'E', 40);
g.PrintGraph();
cout << g.GetDevOfV('B') << endl;
}
邻接矩阵形式存储图结构,当e远远小于n^2时,大量的元素是0,造成空间浪费。
所以又有一种存储方式,叫邻接表。
2、邻接表
使用数组表示顶点的集合,使用链表示边的关系。
举例如下:
无向图:
由图可知:
无向图中同一条边在邻接表中出现了两次。
如果想知道某顶点的度,只需要知道该顶点链表集合中结点的数目即可。
再来看有向图:
由图可知:
有向图中每条边在邻接表中只出现一次。
与顶点vi对应的邻接表所含结点的个数,就是该顶点的出度,也称出度表。
要得到vi顶点的入度,必须检测其他所有顶点对应的边链表,看有多少边顶点的dst取值是i。
简单实现图的邻接表存储,代码如下:
template<class W>
struct Node
{
Node *_pNext;
W _weight;
size_t _src;
size_t _dst; //终点的下标
Node(size_t src, size_t dst, const W& weigt)
:_src(src)
, _dst(dst)
, _weight(_weight)
, _pNext(NULL)
{}
};
template < class V, class W,bool IsDirect=false>
class Graph
{
typedef Node<W> Node;
typedef Node* pNode;
public:
Graph(const V* array, size_t size)
:_v(array,array+size)
{
_linkEdges.resize(size);
}
//寻找顶点元素在数组中的下标
size_t GetIndexOfV(const V& v)
{
for (size_t i = 0; i < _v.size(); ++i)
{
if (v == _v[i])
return i;
}
//找不到,出错
assert(false);
return -1;
}
//加边
void AddEdge(const V& v1, const V& v2,const W& weight)
{
size_t src = GetIndexOfV(v1);
size_t dst = GetIndexOfV(v2);
//头插,检测是否重复插入
_AddEdge(src, dst, weight);
if (!IsDirect)
_AddEdge(dst, src, weight);
}
//求顶点的度
size_t GetDevOfV(const V& v)
{
size_t count = 0;
size_t src = GetIndexOfV(v);
pNode pCur = _linkEdges[src];
//出度
while (pCur)
{
count++;
pCur = pCur->_pNext;
}
//入度
if (!IsDirect)
{
for (size_t i = 0; i < _v.size(); ++i)
{
pNode pTmp = _linkEdges[i];
while (pTmp)
{
if (_linkEdges[i]->_dst == src)
count++;
pTmp = pTmp->_pNext;
}
}
}
return count;
}
void PrintGraph()
{
size_t n = _v.size();
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
cout << _v[i] << " ";
}
cout << endl;
for (size_t i = 0; i < _v.size(); ++i)
{
pNode pTmp = _linkEdges[i];
if (pTmp)
{
cout << pTmp->_src << " ";
while (pTmp)
{
cout << pTmp->_dst << " ";
pTmp = pTmp->_pNext;
}
cout << endl;
}
}
}
private:
void _AddEdge(size_t src, size_t dst, const W& weight)
{
//找链表
pNode pCur = _linkEdges[src];
while (pCur)
{
if (pCur->_dst == dst)
return;
pCur = pCur->_pNext;
}
//头插
pNode pNewNode = new Node(src, dst, weight);
pNewNode->_pNext = _linkEdges[src];
_linkEdges[src] = pNewNode;
}
private:
vector<V> _v;
vector<pNode> _linkEdges;
};
测试一下:
void TestGraph()
{
char *pStr = "ABCDE";
Graph<char, int, true> g(pStr, strlen(pStr));
g.AddEdge('A', 'D', 10);
g.AddEdge('A', 'E', 20);
g.AddEdge('B', 'C', 10);
g.AddEdge('B', 'D', 20);
g.AddEdge('B', 'E', 30);
g.AddEdge('C', 'E', 40);
g.PrintGraph();
cout << g.GetDevOfV('A') << endl;
}
观察结果:
可以观察到,因为链表里使用的是头插,所以与测试函数里加边的顺序相反。