数据结构(C++)——图：基于邻接矩阵实现的图结构

抽象数据类型

操作接口：图支持的操作接口分为边和顶点两类

 

Graph模板类

typedef enum { UNDISCOVERED, DISCOVERED, VISITED } VStatus; //顶点状态
typedef enum { UNDETERMINED, TREE, CROSS, FORWARD, BACKWARD } EStatus; //边状态

template <typename Tv, typename Te> //顶点类型、边类型
class Graph { //图Graph模板类
private:
    void reset() { //所有顶点、边的辅助信息复位
        for (int i = 0; i < n; i++) { //所有顶点的
            status(i) = UNDISCOVERED; dTime(i) = fTime(i) = -1; //状态,时间标签
            parent(i) = -1; priority(i) = INT_MAX; //(在遍历树中的)父节点,优先级数
            for (int j = 0; j < n; j++) //所有边的
                if (exists(i, j)) status(i, j) = UNDETERMINED; //状态
        }
    }
    void BFS(int, int&); //(连通域)广度优先搜索算法
    void DFS(int, int&); //(连通域)深度优先搜索算法
    void BCC(int, int&, Stack<int>&); //(连通域)基亍DFS的双连通分量分解算法
    bool TSort(int, int&, Stack<Tv>*); //(连通域)基亍DFS的拓扑排序算法
    template <typename PU> void PFS(int, PU); //(连通域)优先级搜索框架
    
public:
// 顶点
    int n; //顶点总数
    virtual int insert(Tv const&) = 0;
    virtual Tv remove(int) = 0; //删除顶点及其关联边,返回该顶点信息
    virtual Tv& vertex(int) = 0; //顶点v的数据(该顶点的确存在)
    virtual int inDegree(int) = 0; //顶点v的入度(该顶点的确存在)
    virtual int outDegree(int) = 0; //顶点v的出度(该顶点的确存在)
    virtual int firstNbr(int) = 0; //顶点v的首个邻接顶点
    virtual int nextNbr(int, int) = 0; //顶点v的(相对于顶点j的)下一邻接顶点
    virtual VStatus& status(int) = 0; //顶点v的状态
    virtual int& dTime(int) = 0; //顶点v的时间标签dTime
    virtual int& fTime(int) = 0; //顶点v的时间标签fTime
    virtual int& parent(int) = 0; //顶点v在遍历树中的父亲
    virtual int& priority(int) = 0; //顶点v在遍历树中的优先级数

// 边:这里约定,无向边均统一转化为方向互逆的一对有向边,从而将无向图规作有向图的特例
    int e; //边总数
    virtual bool exists(int, int) = 0; //边(v, u)是否存在
    virtual void insert(Te const&, int, int, int) = 0;
    virtual Te remove(int, int) = 0; //删除顶点v和u之间的边e,返回该边信息
    virtual EStatus& status(int, int) = 0; //边(v, u)的状态
    virtual Te& edge(int, int) = 0; //边(v, u)的数据(该边的确存在)
    virtual int& weight(int, int) = 0; //边(v, u)的权重
// 算法
    void bfs(int); //广度优先搜索算法
    void dfs(int); //深度优先搜索算法
    void bcc(int); //基于DFS的双连通分量分解算法
    Stack<Tv>* tSort(int); //基于DFS的拓扑排序算法
    void prim(int); //最小支撑树Prim算法
    void dijkstra(int); //最短路径Dijkstra算法
    template <typename PU> void pfs(int, PU); //优先级搜索框架
};

 

 

邻接矩阵

 

原理

邻接矩阵(adjacency matrix)是图ADT最基本的实现方式,使用方阵A[n][n]表示由n顶点构成的图,其中每个单元,各自负责描述一对顶点之间可能存在的邻接关系,故此得名。

对于无权图，存在从顶点u到v的边,当且仅当A[u][v] =1

ａ、ｂ、ｃ分别对应无向图、有向图、网络的邻接矩阵实例

 

基于邻接矩阵实现的图结构

#include "../Vector/Vector.h" //引入向量
#include "../Graph/Graph.h" //引入图ADT

template <typename Tv> struct Vertex { //顶点对象(为简化起见,并未严格封装) 
    Tv data; int inDegree, outDegree; VStatus status; //数据、出入度数、状态
    int dTime, fTime; //时间标签
    int parent; int priority; //在遍历树中的父节点、优先级数
    Vertex(Tv const& d = (Tv) 0) :  //构造新顶点
        data(d), inDegree(0), outDegree(0), status(UNDISCOVERED),
        dTime(-1), fTime(-1), parent(-1), priority(INT_MAX) {} //暂不考虑权重溢出
};

template <typename Te> struct Edge { //边对象(为简化起见,并未严格封装)
    Te data; int weight; EStatus status; //数据、权重、状态
    Edge(Te const& d, int w) : data(d), weight(w), status(UNDETERMINED) {}      //构造新边
};

template <typename Tv, typename Te> //顶点类型、边类型
class GraphMatrix : public Graph<Tv, Te> { //基于向量,以邻接矩阵形式实现的图
private:
    Vector<Vertex<Tv>> V; //顶点集(向量)
    Vector<Vector<Edge<Te>*>> E; //边集(邻接矩阵)
public:
    GraphMatrix() { n = e = 0; } //构造
    ~GraphMatrix() { //析构
        for (int j = 0; j < n; j++)     //所有动态创建的
            for (int k = 0; k < n; k++) //边记录
                delete E[j][k]; //逐条清除
}
// 顶点的基本操作:查询第i个顶点(0 <= i < n)
    virtual Tv& vertex(int i) { return V[i].data; } //数据
    virtual int inDegree(int i) { return V[i].inDegree; } //入度
    virtual int outDegree(int i) { return V[i].outDegree; } //出度
    virtual int firstNbr(int i) { return nextNbr(i, n); } //首个邻接顶点
    virtual int nextNbr(int i, int j) //相对于顶点j的下一邻接顶点
    { while ((-1 < j) && (!exists(i, --j))); return j; } //逆向线性试探(改用邻接表可提高效率)
    virtual VStatus& status(int i) { return V[i].status; } //状态
    virtual int& dTime(int i) { return V[i].dTime; } //时间标签dTime
    virtual int& fTime(int i) { return V[i].fTime; } //时间标签fTime
    virtual int& parent(int i) { return V[i].parent; } //在遍历树中的父亲
    virtual int& priority(int i) { return V[i].priority; } //在遍历树中的优先级数
// 顶点的动态操作
    virtual int insert(Tv const& vertex) {
        for (int j = 0; j < n; j++) E[j].insert(NULL); n++; //各顶点预留一条潜在的关联联边
        E.insert(Vector<Edge<Te>*>(n, n, (Edge<Te>*) NULL)); //创建新顶点对应的边向量
        return V.insert(Vertex<Tv>(vertex)); //顶点向量增加一个顶点
}
    virtual Tv remove(int i) { //删除第i个顶点及其关联边(0 <= i < n)
        for (int j = 0; j < n; j++) //所有出边
            if (exists(i, j)) { delete E[i][j]; V[j].inDegree--; } //逐条删除
        E.remove(i); n--; //删除第i行
        for (int j = 0; j < n; j++) //所有出边
            if (exists(j, i)) { delete E[j].remove(i); V[j].outDegree--; } //逐条删除
        Tv vBak = vertex(i); V.remove(i); //删除顶点i
        return vBak; //返回被删除顶点的信息
}
// 边的确认操作
    virtual bool exists(int i, int j) //边(i, j)是否存在
    { return (0 <= i) && (i < n) && (0 <= j) && (j < n) && E[i][j] != NULL; }
// 边的基本操作:查询顶点i与j之间的联边(0 <= i, j < n且exists(i, j))
    virtual EStatus& status(int i, int j) { return E[i][j]->status; } //边(i, j)的状态
    virtual Te& edge(int i, int j) { return E[i][j]->data; } //边(i, j)的数据
    virtual int& weight(int i, int j) { return E[i][j]->weight; } //边(i, j)的权重
// 边的动态操作
    virtual void insert(Te const& edge, int w, int i, int j) {  //插入权重为w的边e = (i, j)
        if (exists(i, j)) return; //确保该边尚不存在
        E[i][j] = new Edge<Te>(edge, w); //创建新边
        e++; V[i].outDegree++; V[j].inDegree++; //更新边计数与关联顶点的度数
}
    virtual Te remove(int i, int j) { //删除顶点i和j之间的联边(exists(i, j))
        Te eBak = edge(i, j); delete E[i][j]; E[i][j] = NULL; //备份后删除边记录
        e--; V[i].outDegree--; V[j].inDegree--; //更新边计数不关联顶点的度数
        return eBak; //返回被删除边的信息
    }
};

 

利用了Vector结构,在内部将所有顶点组织为一个向量V[]; 同时通过嵌套定义,将所有(潜在的)边组织为一个二维向量E[][]——亦即邻接矩阵。 每个顶点统一表示为Vertex对象,每条边统一表示为Edge对象。 边对象的属性weight统一简化为整型,既可用于表示无权图,亦可表示带权网络。

 

 

邻接表

原理：

邻接矩阵的空间效率之所以低,是因为其中大量单元所对应的边,通常并未在图中出现。将这里的向量替换为列表，按照这一思路,的确可以导出图结构的另一种表示与实现形式。

以如图6.6(a)所示的无向图为例,只需将如图(b)所示的邻接矩阵,逐行地转换为如图(c)所示的一组列表,即可分别记录各顶点的关联边(或等价地,邻接顶点)。这些列表,也因此称作邻接表(adjacency list)。