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素数判定

程序员文章站 2022-03-17 13:52:57
素数定义:质数定义为在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数。 素数问题变化莫测,但万变不离其宗。素数问题最核心的就是如何判断一个数是否是素数。对于判断一个数m是否是素数,最原始的方法就是按照素数的定义,试除2开始到m-1的整数,如果无一例外地都不能整除,则该数一定是素数。实现程序如下: ......

  素数定义:质数定义为在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数。

  素数问题变化莫测,但万变不离其宗。素数问题最核心的就是如何判断一个数是否是素数。对于判断一个数m是否是素数,最原始的方法就是按照素数的定义,试除2开始到m-1的整数,如果无一例外地都不能整除,则该数一定是素数。实现程序如下:

      #include <iostream>
      using namespace std;
    //判断是否是素数
    int main() {
         cout << "please inpout a number.";
    int m;
    cin >> m;
    for (int i = 2; i < m; ++i)
         if (m%i == 0) {
                  cout << m << " isn't a prime\n";
          return 1;
         }
     cout << m << " is a prime\n";
        return 0;
  }
素数判定
改进:我们知道如果一个数有因子的话,那么在它的平方根数以内就应该有,否则就没有因子。例如66的平方根在8与9之间,因为66不是素数,,则它一定有比8还小的因子,我们知道66的因子是2、3、6等。
 
  现在我们就可以将m试除2到√m的整数,如果无一例外地都不能整除,则该数一定是素数。实现程序如下:
      #include <iostream>
      using namespace std;
    //判断是否是素数
  int main() {
    cout << "please inpout a number.";
    int m;
              cin >> m;
              double sqrtm = sqrt(m*1.0);
              for (int i = 2; i < sqrtm; ++i)
                if (m%i == 0) {
                  cout << m << " isn't a prime\n";
                       return 1;
                     }
      cout << m << " is a prime\n";
      return 0;
       }
素数判定
  改进:现在举个例子,判断102是否是素数,本来要从2试除到10。但事实上,中间的4、6、8、10也都无须试,只需要试除2、3、5、7。直接来说,就是只需要试除2到√m之间的所有素数即可。而所有素数(除了2和3)都满足6*i-1或6*i+1(i=1、2、3...)。那么代码又可以改进,如下:
  #include <iostream>
  using namespace std;
  int main() {
       cout << "please inpout a number.";
       int m;
       cin >> m;
     //两个较小数另外处理
     if (m == 2 || m == 3)
          return 1;
          double sqrtm = sqrt(m*1.0);
     for (int i = 5; i <= sqrtm; i += 6)
        if (m %i == 0 || m % (i + 2) == 0)
           cout << m << " isn't a prime\n";
     cout << m << " is a prime\n";
     return 0;
  } 
素数判定
  下面这种方法也是本人借鉴别人的,如有侵权请联系我删除。
  改进:素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29...,观察可知:素数一定在6的倍数的左右,但6的倍数的左右不一定是素数,如23是素数,但25不是素数。则我们可以先通过这个条件将可能是素数的数筛选出来,然后采用方法三,代码如下:
  #include <iostream>
  using namespace std;
  int main() {
       cout << "please inpout a number.";
        int m;
     cin >> m;
     //两个较小数另外处理
     if (m == 2 || m == 3)
           return 1;
     //不在6的倍数两侧的一定不是质数
     if (m % 6 != 1 && m % 6 != 5) {
        cout << m << " isn't a prime\n";
        return 0;
     }
  
     double sqrtm = sqrt(m*1.0);
     //在6的倍数两侧的也可能不是质数
     for (int i = 5; i <= sqrtm; i += 6)
          if (m %i == 0 || m % (i + 2) == 0)
          cout << m << " isn't a prime\n";
      //排除所有,剩余的是质数
      cout << m << " is a prime\n";
      return 0;
  }
素数判定
现在对这四种方法的效率进行测试,测试代码如下:
  #include <iostream>
  #include <ctime>
  using namespace std;
  
  int isprime_1(int num);
  int isprime_2(int num);
  int isprime_3(int num);
  int isprime_4(int num);
  int main(){
       int num = 30000;
       int tstart, tstop; //分别记录起始和结束时间
 
    //测试第一个判断质数函数
     tstart = clock();
     for (int i = 1; i <= num; i++)
        isprime_1(i);
     tstop = clock();
     cout << "isprime_1方法的时间(ms):" << tstop - tstart << endl;
     
    //测试第二个判断质数函数
     tstart = clock();
     for (int i = 1; i <= num; i++)
        isprime_2(i);
     tstop = clock();
     cout << "isprime_2方法的时间(ms):" << tstop - tstart << endl;
 
    //测试第三个判断质数函数
     tstart = clock();
     for (int i = 1; i <= num; i++)
        isprime_3(i);
     tstop = clock();
     cout << "isprime_3方法的时间(ms):" << tstop - tstart << endl;
     
    //测试第四个判断质数函数
     tstart = clock();
     for (int i = 1; i <= num; i++)
        isprime_4(i);
     tstop = clock();
     cout << "isprime_4方法的时间(ms):" << tstop - tstart << endl;
     cout << endl;
     return 0;
  }
 
  int isprime_1(int num){
     for (int i = 2; i <= num - 1; i++)
        if (num %i == 0)
           return 0;
     return 1;
  }
 
  int isprime_2(int num){
     double sqrtnum = sqrt(num*1.0);
     for (int i = 2; i <= sqrtnum; i++)
        if (num %i == 0)
           return 0;
     return 1;
  }
 
  int isprime_3(int num) {
     //两个较小数另外处理
     if (num == 2 || num == 3)
        return 1;
     double sqrtnum = sqrt(num*1.0);
     for (int i = 5; i <= sqrtnum; i += 6)
        if (num %i == 0 || num % (i + 2) == 0)
           return 0;
     return 1;
  }
 
  int isprime_4(int num){
     //两个较小数另外处理
     if (num == 2 || num == 3)
        return 1;
     //不在6的倍数两侧的一定不是质数
     if (num % 6 != 1 && num % 6 != 5)
        return 0;
     double sqrtnum = sqrt(num*1.0);
     //在6的倍数两侧的也可能不是质数
     for (int i = 5; i <= sqrtnum; i += 6)
        if (num %i == 0 || num % (i + 2) == 0)
           return 0;
     //排除所有,剩余的是质数
     return 1;
  }
判断1-30000之间素数的耗时:
素数判定
现在测试判断1-300000之间素数的耗时:
素数判定
方法二和方法三的效率之间相差其实不大,什么原因大家可以思考思考。
判断素数的方法就讨论到这,有什么想法大家可以指出。