费马小定理(入门+内容+应用+例题)
费马小定理新手入门+总结
纵有疾风起,人生不言弃。
前言
最近新手的我做了几个和快速幂有关的题目,发现他们还经常和费马小定理联系在一起,所以有必要写一篇文章来总结一下费马小定理,以便后面更好的学习。
内容介绍
费马小定理是数论中的一个重要定理,再1636年提出。
核心:如果p是一个质数,并且整数a不是p的倍数,则有公式:\(a^{p-1}\equiv1(mod\ p)\)。
定理应用
那么问题来了,这个定理该怎么应用呢?
这里举一个题目来进行说明。
这个题目大体的意思是说输入一个数n,求n被拆分成若干个正整数的结果,注意 1+2 和 2+1算作两种。n很大,需要使用数组进行存储。
输出的结果可能很大,需要mod 1e9+7,注意这个数是一个质数,正好符合费马小定理的要求。
题目解答
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隔板原理+组合数求和公式
\(1-n\)有n个元素,每个元素代表一个,分成k个数,即在\((n-1)\)个空挡里放置\(()(k-1)\)块隔板(最多放置n-1个挡板)。
即求组合数\(,c(0,n-1)+c(1,n-1)+...+c(n-1,n-1)\)的和,根据二项式定理,这个和为\(2^{n-1}\)
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使用费马小定理
因为n很大,所以需要使用费马小定理来进行降幂
\[ 2^{n-1}mod(p)=2^{n-1-k(p-1)+k(p-1)}mod(p)=2^{n-1-k(p-1)}mod(p)*2^{k*(p-1)}mod(p) \tag{2.1} \]
又因为p是一个质数,且2和p互质,那么就可以使用费马小定理了,即
\[ 2^{k*(p-1)}mod(p)=1 \tag{2.2} \]
这样将\(公式(2.2)公式\)带入到\(公式(2.1)公式\)中得到
\[ 2^{n-1}mod(p)=2^{n-1-k(p-1)}=2^{(n-1)mod(p-1)} \tag{2.3} \]
于是计算就变得比较简单了。
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快速幂进行求取\(2^{(n-1)mod(p-1)}\)的值
快速幂的复杂度为\(o(lgn)\)
代码展示
#include<cstdio> #include<cstring> #include<queue> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const ll mod=1e9+7; const ll maxn=1e8; char str[maxn]; ll qpow(ll a) //快速幂的模板 { ll ans=1, base=2; //base存储基数,这里可以调整不同的数 while(a) { if(a&1) { ans=ans*base%mod; } base=(base*base)%mod; //注意这里如果基数是2的情况下,不能使用base=(base<<1)%mod //因为这里有mod,所以写法目前是唯一的,就是代码中的写法。 a>>=1; } return ans%mod; } int main() { while(scanf("%s", str)!=eof) { ll num=0, len=strlen(str); for(int i=0; i<len; i++) num=(num*10 + str[i]-'0') % (mod-1); //这就是对2的指数的化简,使用费马小定理 printf("%lld\n", qpow(num-1)); } return 0; }
总结
\[ 2^{p-1}=1(mod\ p) \]
- 费马小定理最重要的一点是p(模数)必须是质数,并且与a(底数)互质,只有这样才能使用。
- 使用这个定理的目的主要是降低计算的复杂度。
- 也可以用于某些数论方面的题目,这个目前自己用的比较少,不是很清楚。