费马小定理（入门+内容+应用+例题）

费马小定理新手入门+总结

纵有疾风起，人生不言弃。

前言

最近新手的我做了几个和快速幂有关的题目，发现他们还经常和费马小定理联系在一起，所以有必要写一篇文章来总结一下费马小定理，以便后面更好的学习。

内容介绍

费马小定理是数论中的一个重要定理，再1636年提出。

​核心：如果p是一个质数，并且整数a不是p的倍数，则有公式：\(a^{p-1}\equiv1(mod\ p)\)。

定理应用

那么问题来了，这个定理该怎么应用呢？

这里举一个题目来进行说明。

sum hdu - 4704

这个题目大体的意思是说输入一个数n，求n被拆分成若干个正整数的结果，注意 1+2 和 2+1算作两种。n很大，需要使用数组进行存储。

输出的结果可能很大，需要mod 1e9+7，注意这个数是一个质数，正好符合费马小定理的要求。

题目解答

1. 隔板原理+组合数求和公式

   \(1-n\)有n个元素，每个元素代表一个，分成k个数，即在\((n-1)\)个空挡里放置\(（）（k-1）\)块隔板（最多放置n-1个挡板）。

   即求组合数\(，c(0,n-1)+c(1,n-1)+...+c(n-1，n-1)\)的和，根据二项式定理，这个和为\(2^{n-1}\)

2. 使用费马小定理

   因为n很大，所以需要使用费马小定理来进行降幂

   \[ 2^{n-1}mod(p)=2^{n-1-k(p-1)+k(p-1)}mod(p)=2^{n-1-k(p-1)}mod(p)*2^{k*(p-1)}mod(p) \tag{2.1} \]

   又因为p是一个质数，且2和p互质，那么就可以使用费马小定理了，即

   \[ 2^{k*(p-1)}mod(p)=1 \tag{2.2} \]

   这样将\(公式(2.2)公式\)带入到\(公式(2.1)公式\)中得到

   \[ 2^{n-1}mod(p)=2^{n-1-k(p-1)}=2^{(n-1)mod(p-1)} \tag{2.3} \]

   于是计算就变得比较简单了。

3. 快速幂进行求取\(2^{(n-1)mod(p-1)}\)的值

   快速幂的复杂度为\(o(lgn)\)

代码展示

• #include<cstdio>
  #include<cstring>
  #include<queue>
  #include<algorithm>
  
  using namespace std;
  typedef long long ll;
  const ll mod=1e9+7;
  const ll maxn=1e8;
  char str[maxn];
  
  ll qpow(ll a) //快速幂的模板
  {
    ll ans=1, base=2; //base存储基数，这里可以调整不同的数
    while(a)
    {
        if(a&1)
        {
            ans=ans*base%mod;
        }
        base=(base*base)%mod; //注意这里如果基数是2的情况下，不能使用base=(base<<1)%mod
                                //因为这里有mod，所以写法目前是唯一的，就是代码中的写法。
        a>>=1;
    }
    return ans%mod;
  }
  int main()
  {
    while(scanf("%s", str)!=eof)
    {
        ll num=0, len=strlen(str);
        for(int i=0; i<len; i++)
            num=(num*10 + str[i]-'0') % (mod-1); //这就是对2的指数的化简，使用费马小定理
        printf("%lld\n", qpow(num-1));
    }
    return 0;
   }

总结

\[ 2^{p-1}=1(mod\ p) \]

1. 费马小定理最重要的一点是p（模数）必须是质数，并且与a（底数）互质，只有这样才能使用。
2. 使用这个定理的目的主要是降低计算的复杂度。
3. 也可以用于某些数论方面的题目，这个目前自己用的比较少，不是很清楚。

end