数据结构（C实现）------- 最小生成树之Kruskal算法

 

算法描述：

kruskal算法是按权值递增的次序来构造最小生成树的方法。

　　　假设g(v,e)最一个具有n个顶点的连通网，顶点集v={v1,v2,....,vn}。设所求的最小生成树为t={u,te},其中u是t的顶点集，te是ｔ的边集，u和te的初始值为空集。kruskal算法的基本思想如下：将最小生成树初始化为t=(v,te),仅包含 g的全部顶点，不包含g的任一条边，此时，t由n 个连通分量组成，每个分量只有一个顶点；将图中g中的边按权值从小到大排序，选择代价最小了一条边，若该边所依附的顶点分属于t中的不同的连通分量，则将此边加入到te中，否则，舍弃此边而选择下一条代价最小的边。依次类推，直至te中包含n-1条边（即t中所有的顶点都在同一连通分量上）为止。

 

算法实现：

　　　设置一个edge数组存储连通网中所有的边，为了便于选择当前权值最小的边，需要将edge中的边按权值从小到大进行排列。

　　　而在连通分量的合并上，可以采用集合的合并方法，对于有n个顶点的连通网，设置一个数组father[0...n-1]，其初始值为-1,表示n个顶点在不同的连通分量上。然后，依次扫描edge数组中的每一条边，并查找相关联的两个顶点所属的连通分量，假设vf1和vf2为两个顶点的所在树的根节点的序号，若vf1不等于vf2，则表明这条边的两个顶点不属于同一个连通分量，则将这条边作为最小生成树的边并输出，然后合并它们所属的两个连通分量。

 

算法代码：

 

int findfather(int father[],int v){
	int t = v;
	while(father[t] != -1)
		t = father[t];
	return t;
}



/* *
 *kruskal算法求最小生成树
 * */ 
void kruskal_mg(mgraph mg,edge edge[]){
	int father[max_vex_num];
	int i,count,vf1,vf2;
	// 初始化father数组
	for(i = 0;i < max_vex_num;i++){
		father[i] = -1;
	}
	i = 0;
	count = 0; // 统计加入最小生树中的边数
	// 遍历任意两个结点之间的边
	while(i < mg.arcnum && count < mg.arcnum){
		vf1 = findfather(father,edge[i].start);
		vf2 = findfather(father,edge[i].end);
		// 如果这两个节点不属于同一个连通分量，则加入同一个连通分量
		if (vf1 != vf2){
			father[vf2] = vf1;
			count++;
			printf(%c,%c,%d
,mg.vexs[edge[i].start],mg.vexs[edge[i].end],edge[i].cost);
		}
		i++;
	}
}

　　　其中，函数findfather的作用就是找指定节点所属的连通分量，在这里也就是找其所在树的根节点在数组中的序号。

 

 

算法说明：

　　　对于带权图g中e条边的权值的排序方法可以有多种，这里采用的是最简单的冒泡排序法，时间复杂度为o(n^2)。而判断新选择的边的两个顶点是否在同一个连通分量中，这个问题等价于一个在最多有n 个顶点的生成树中遍历寻找新选择的边的两个节点是否存在的问题，所以此算法的复杂度最坏情况下是o(n^2)。

　　　注意：一般来讲，prim算法的时间复杂度为o(n^2),因此适合于稠密图，而kruskal算法需要对e条边进行排序，最快的情况下复杂度为o(elog2e)，因此对于稀疏图，采用kruskal算法比较合适。

 

完整代码：

 

/*
 * =====================================================================================
 *
 *       filename:  kruskal.c
 *
 *    description:  最小生成树之kruskal算法
 *
 *        version:  1.0
 *        created:  2015年05月06日 21时25分12秒
 *       revision:  none
 *       compiler:  gcc
 *
 *         author:  jesson20121020 (), [e-mail]
 *   organization:  
 *
 * =====================================================================================
 */


#include 
#include 
#define max_vex_num 50
#define max_arc_num 100
#define un_reach 1000




typedef char vertextype;
typedef enum {
	dg, udg
} graphtype;
typedef struct {
	vertextype vexs[max_vex_num];
	int arcs[max_vex_num][max_vex_num];
	int vexnum, arcnum;
	graphtype type;
} mgraph;



/**
 * 根据名称得到指定顶点在顶点集合中的下标
 * vex  顶点
 * return 如果找到，则返回下标，否则，返回０
 */
int getindexofvexs(char vex, mgraph *mg) {
	int i;
	for (i = 1; i <= mg->vexnum; i++) {
		if (mg->vexs[i] == vex) {
			return i;
		}
	}
	return 0;
}

/**
 * 创建邻接矩阵
 */
void create_mg(mgraph *mg) {
	int i, j, k,weight;
	int v1, v2, type;
	char c1, c2;
	printf(please input graph type dg(0) or udg(1) :);
	scanf(%d, &type);
	if (type == 0)
		mg->type = dg;
	else if (type == 1)
		mg->type = udg;
	else {
		printf(please input correct graph type dg(0) or udg(1)!);
		return;
	}

	printf(please input vexmun : );
	scanf(%d, &mg->vexnum);
	printf(please input arcnum : );
	scanf(%d, &mg->arcnum);
	getchar();
	for (i = 1; i <= mg->vexnum; i++) {
		printf(please input %dth vex(char):, i);
		scanf(%c, &mg->vexs[i]);
		getchar();
	}

	//初始化邻接矩阵
	for (i = 1; i <= mg->vexnum; i++) {
		for (j = 1; j <= mg->vexnum; j++) {
			if(i == j)
				mg->arcs[i][j] = 0;
			else
				mg->arcs[i][j] = un_reach;
		}
	}

	//输入边的信息，建立邻接矩阵
	for (k = 1; k <= mg->arcnum; k++) {
		printf(please input %dth arc v1(char) v2(char) weight(int): , k);

		scanf(%c %c %d, &c1, &c2,&weight);
		v1 = getindexofvexs(c1, mg);
		v2 = getindexofvexs(c2, mg);
		if (mg->type == 1)
			mg->arcs[v1][v2] = mg->arcs[v2][v1] = weight;
		else
			mg->arcs[v1][v2] = weight;
		getchar();
	}




}
/**
 * 打印邻接矩阵和顶点信息
 */
void print_mg(mgraph mg) {
	int i, j;
	if(mg.type == dg){
		printf(graph type: direct graph
);
	}
	else{
		printf(graph type: undirect graph
);
	}

	printf(graph vertex number: %d
,mg.vexnum);
	printf(graph arc number: %d
,mg.arcnum);

	printf(vertex set:
 );
	for (i = 1; i <= mg.vexnum; i++)
		printf(%c	, mg.vexs[i]);
	printf(
adjacency matrix:
);

	for (i = 1; i <= mg.vexnum; i++) {
		j = 1;
		for (; j < mg.vexnum; j++) {
			printf(%d	, mg.arcs[i][j]);
		}
		printf(%d
, mg.arcs[i][j]);
	}
}


// 定义边结构体
typedef struct{
	int start;
	int end;
	int cost;
}edge;


/* *
 * 由邻接矩阵得到边的信息
 *
 * */
void init_edge(mgraph mg,edge edge[]){
	int i,j;
	int count = 0;
	if(mg.type == 0){
		for(i = 1; i <= mg.vexnum;i++){
			for (j = 1;j <= mg.vexnum;j++){
				if(mg.arcs[i][j] != 0 && mg.arcs[i][j] != un_reach){
					edge[count].start = i;
					edge[count].end = j;
					edge[count].cost = mg.arcs[i][j];
					count++;
				}
			}
		}
	}
	else{
		for(i = 1; i <= mg.vexnum;i++){
			for (j = i;j <= mg.vexnum;j++){
				if(mg.arcs[i][j] != 0 && mg.arcs[i][j] != un_reach){
					edge[count].start = i;
					edge[count].end = j;
					edge[count].cost = mg.arcs[i][j];
					count++;
				}
			}
		}
	}
	
}




/* *
 *　将边按权值从大到小排序
 * */
void sort_edge(edge edge[],int arcnum){
	int i,j;
	edge temp;
	for(i = 0; i < arcnum - 1;i++){
		for (j = i+1;j < arcnum;j++){
			if(edge[i].cost > edge[j].cost){
				temp = edge[i];
				edge[i] = edge[j];
				edge[j] = temp;
			}
		}
	}
}

/* *
 * 输出边的信息
 * */
void print_edge(edge edge[],int arcnum){
	int i = 0;
	while(i < arcnum){
		printf(%d,%d,%d
,edge[i].start,edge[i].end,edge[i].cost);
		i++;
	}
}
/**
*    找出指定节点的所属的连通分量，这里是找出其根节点在father数组中下标。
**/ int findfather(int father[],int v){
	int t = v;
	while(father[t] != -1)
		t = father[t];
	return t;
}

/* *
 *kruskal算法求最小生成树
 * */ 
void kruskal_mg(mgraph mg,edge edge[]){
	int father[max_vex_num];
	int i,count,vf1,vf2;
	// 初始化father数组
	for(i = 0;i < max_vex_num;i++){
		father[i] = -1;
	}
	i = 0;
	count = 0; // 统计加入最小生树中的边数
	// 遍历任意两个结点之间的边
	while(i < mg.arcnum && count < mg.arcnum){
		vf1 = findfather(father,edge[i].start);
		vf2 = findfather(father,edge[i].end);
		// 如果这两个节点不属于同一个连通分量，则加入同一个连通分量
		if (vf1 != vf2){
			father[vf2] = vf1;
			count++;
			printf(%c,%c,%d
,mg.vexs[edge[i].start],mg.vexs[edge[i].end],edge[i].cost);
		}
		i++;
	}
}
/**
 * 主函数
 */
int main(void) {
	mgraph mg;
	edge edge[max_arc_num];
	create_mg(&mg);
	print_mg(mg);
	init_edge(mg,edge);
	sort_edge(edge,mg.arcnum);
	printf(the result of kruskal:
);
	kruskal_mg(mg,edge);

		
	
	return exit_success;
}

 

运行演示：

 

jesson@jesson-k43sv:~/develop/worksapce/c_learning/最小生成树$ gcc -o kruskal kruskal.c
jesson@jesson-k43sv:~/develop/worksapce/c_learning/最小生成树$ ./kruskal 
please input graph type dg(0) or udg(1) :0
please input vexmun : 4
please input arcnum : 5
please input 1th vex(char):a  
please input 2th vex(char):b
please input 3th vex(char):c
please input 4th vex(char):d
please input 1th arc v1(char) v2(char) weight(int): a b 1
please input 2th arc v1(char) v2(char) weight(int): a c 3
please input 3th arc v1(char) v2(char) weight(int): a d 4
please input 4th arc v1(char) v2(char) weight(int): b c 2 
please input 5th arc v1(char) v2(char) weight(int): c d 3
graph type: direct graph
graph vertex number: 4
graph arc number: 5
vertex set:
 a	b	c	d	
adjacency matrix:
0	1	3	4
1000	0	2	1000
1000	1000	0	3
1000	1000	1000	0
the result of kruskal:
a,b,1
b,c,2
c,d,3