递归（七）：递归程序填空

1. 字母组串（2017年第8届蓝桥杯省赛试题）

由 a，b，c 这3个字母就可以组成许多串。
比如："a"，"ab"，"abc"，"aba"，"aacbb" ....

现在，小明正在思考一个问题：
如果每个字母的个数有限定，能组成多少个已知长度的串呢？

他请好朋友来帮忙，很快得到了代码，
解决方案超级简单，然而最重要的部分却语焉不详。

请仔细分析源码，填写划线部分缺少的内容。

#include <stdio.h>

// a个a，b个b，c个c 字母，能组成多少个不同的长度为n的串。
int f(int a, int b, int c, int n)
{
      if (a<0 || b<0 || c<0) return 0;
      if (n==0) return 1;
      return ______________________________________ ; // 填空
}

int main()
{
      printf("%d\n", f(1,1,1,2));
      printf("%d\n", f(1,2,3,3));
      return 0;
}

对于上面的测试数据，小明口算的结果应该是：
6
19

分析：为组成长度为n的串，可以先选1个a，再在a-1个a，b个b，c个c 中进行选择组成长度为n-1的串，即递归调用f(a-1,b,c,n-1)；也可以先选1个b，再在a个a，b-1个b，c个c 中进行选择组成长度为n-1的串，即递归调用f(a,b-1,c,n-1)；还可以先选1个c，再在a个a，b个b，c-1个c 中进行选择组成长度为n-1的串，即递归调用f(a,b,c-1,n-1)。

划线处填写代码为：f(a-1,b,c,n-1)+f(a,b-1,c,n-1)+f(a,b,c-1,n-1)

 

2. 取数位（2017年第8届蓝桥杯省赛试题）

求1个整数的第k位数字有很多种方法。
以下的方法就是一种。

// 求x用10进制表示时的数位长度
int len(int x) {
    if (x<10)  return 1;
    return  len(x/10)+1;
}
// 取x的第k位数字
int  f(int x, int k) {
     if  (len(x)-k==0)  return x%10;
     return _____________________; //填空
}
int main()
{
    int x = 23574;
    printf("%d\n", f(x,3));
    return 0;
}

对于题目中的测试数据，应该打印5。

分析：一个整数x的个位数最容易求得，公式为x%10。一个k位数的第k位就是其个位数。而一个n位数x（n>k）的第k位数就是其高k位数的最后一位，因此可以通过不断舍弃其个位数的方式（x/10）递归求得。

划线处填写代码为：f(x/10,k)

 

3. 抽签（2016年第7届蓝桥杯省赛试题）

x星球要派出一个5人组成的观察团前往w星。
其中：
a国最多可以派出4人。
b国最多可以派出2人。
c国最多可以派出2人。
....

那么最终派往w星的观察团会有多少种国别的不同组合呢？

下面的程序解决了这个问题。
数组a[] 中既是每个国家可以派出的最多的名额。
程序执行结果为：
defff
cefff
cdfff
cdeff
ccfff
cceff
ccdff
ccdef
befff
bdfff
bdeff
bcfff
bceff
bcdff
bcdef
....
(以下省略，总共101行)

#include <stdio.h>
#define n 6
#define m 5
#define buf 1024

void f(int a[], int k, int m, char b[])

{
     int i,j;
     if (k==n) {
         b[m] = 0;
         if (m==0) printf("%s\n",b);
         return;
     }
     for (i=0; i<=a[k]; i++) {
           for(j=0; j<i; j++) b[m-m+j] = k+'a';
           ______________________; //填空位置
     }
}
int main()
{
      int a[n] = {4,2,2,1,1,3};
      char b[buf];
      f(a,0,m,b);
      return 0;
}

仔细阅读代码，填写划线部分缺少的内容。

分析：函数void f(int a[], int k, int m, char b[])的四个参数分别表示：a[]-每个国家可以派出的最多的名额，k-第k个国家，m-还剩多少人可以选，b[]-最终组合。

构造时，确定第k个国家（k的初始值为0，表示国家a）可以派出的选手数i（i从0到a[k]），并将国家代号填写到字符串b中，再递归调用确定第k+1个国家的派出选手，此时剩余可派选手数为m-i。

划线处填写代码为：f(a,k+1,m-i,b)