DSA_02：复杂度分析

真正掌握了复杂度分析，可以说 dsa 便掌握了一小半。

 

复杂度分析分为：时间复杂度分析、空间复杂度分析。

 

时间复杂度的定义：

　　并不是指代码执行的具体、确定时间。

　　它表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势。

　　即便代码需要执行成千上万次，只要它不随数据规模变化而变化，那么它的复杂度就是 o(1)。

空间复杂度的定义：
　　类似的，它表示空间占用与数据规模增长的变化趋势

　　同样，哪怕占用再多的空间，只要它不随数据规模变化而变化，那么它的复杂度就是 o(1)。

 

复杂度的两种表示方法：

　　1. t(n) 表示法：表示算法随数据规模增长的确切公式，如：t(n) = 4n^2 + 3n + 2。

　　2. o(n) 表示法：去掉 t(n) 中的常数和低量级，只留下最大的量级，如上式：o(n) = n^2。

　　3. 同样，若 t(n) = 1000000n^2，o(n) 同样为 n^2。

　　4. 最常用的 o(n) 表示法。

　　5. 常数复杂度是 o(1)，不存在 o(100)，o(1000）等。

　　6. 我们常说的复杂度 logn，其底数到底是多少呢？

　　　　答：一般来说是 2 为底。如果是 5，7，10 等值为底，由高中数学换底公式知道，可以转化为 一个常数*以 2 为低的对数，因此可去掉常数。 

 

以下给出一些常用的复杂度（这几乎包含了所有你会遇到的复杂度）：

　　由低至高：o(1)、o(logn)、o(n)、o(nlogn)、o(n^2)、o(n^3)、o(n^k)、o(2^n)、o(n!)。

　　两个特殊的复杂度（由两个数据规模决定）：o(m+n)、o(mn)。

　　空间复杂度会比时间复杂度更简单，常用的有：o(1)、o(n)、o(n^2)

 

一般的复杂度分析笔者就不再啰嗦了，下面重点讲解一下复杂度分析中的：最好、最坏、平均、均摊 时间复杂度

先看一个例子：从一个无序数组中查找某个值是否存在，若存在，则返回下标，否则返回 -1（以 c/c++ 代码给出，不涉及高级语法，相信完全可以看懂）。

// n 是数组大小
int find(int arr[], int n, int target)
{
    int pos = -1;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        if (arr[i] == target) pos = i;
    return pos;
}

你可以看出，需要遍历整个数组，其时间复杂度是 o(n)，空间复杂度是 o(1)。

当然你肯定也看处问题了，这段代码可以优化，即找到后提前退出：

// n 是数组大小
int find(int arr[], int n, int target)
{
    int pos = -1;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
    {
        if (arr[i] == target)
        {
            pos = i;
            break;
        }
    }
    return pos;
}

那么问题来了，优化后的时间复杂度还是 o(n) 吗？？

现在引出主题：

　　1. 最好时间复杂度：第一个元素就是我们要查找的，因此时间复杂度是 o(1)

　　2. 最坏时间复杂度：最后一个元素是我们要查找的，或 target 不在数组内，时间复杂度 o(n)。

　　3. 平均复杂度：

　　　　要查找的变量在数组中的位置，有n+1种情况：在数组的0～n-1位置中和不在数组中。

　　　　我们把每种情况下，查找需要遍历的元素个数累加起来，然后再除以n+1， 就可以得到需要遍历的元素个数的平均值，即：

　　　　　　(1+2+3+...+n-1+n+n) / (n+1) = (n(n+3)) / (2(n+1))　　即：o(n)

　　　　前面的推导过程中存在的最大问题就是，没有将各种情况发生的概率考虑进去，如果 target 在数组中的概率为 1/2 会怎么样呢？1/3 呢？ 1/5 呢？

　　　　我们以 1/2 为例计算：

　　　　　　(1 * 1/2n + 2 * 1/2n +...+ n * 1/2n + n * 1/2) = (3n+1) / 4　　即：o(n)

　　　　尽管上面方法得出的结果均为 o(n)，但是我们需要根据实际情况，通常不能丢弃概率。

 

再看一个例子：有一个数组，当压入数据时数组空间不足了，就将数组扩大至原大小的两倍，将原数据拷贝到新数组中去。

这个操作复杂度是多少呢？

首先要明确：数组空间充足时，压入数组的时间复杂度为 o(1)，当空间不足时，需要重新开辟空间，并将原有的 n 个数据拷贝过来，时间复杂度 o(n)。

但是怎么评估整体复杂度呢？

这就用到最后一点：均摊时间复杂度

将一次开辟消费的 o(n) 复杂度，均摊给后面 n-1 次的 o(1) 复杂度，不难得出，均摊复杂度为 o(1)。

这是很重要的复杂度分析方法，后续还会提及。