Treap学习笔记
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2023-09-07 17:24:00
Treap详解 Treap=Tree+Heap Treap中每个节点有2个值，其中一个满足二叉查找树的性质，一个满足大根堆的性质。把满足二叉查找树性质的值称作 ，把满足大根堆性质的值称作 。 对于Treap来说，当前节点的 值大于左儿子，小于右儿子。当前节点的 值小于儿子节点的值。 每个节点的 我们 ......
treap详解
treap=tree+heap
treap中每个节点有2个值，其中一个满足二叉查找树的性质，一个满足大根堆的性质。把满足二叉查找树性质的值称作data，把满足大根堆性质的值称作value。 对于treap来说，当前节点的data值大于左儿子，小于右儿子。当前节点的value值小于儿子节点的值。
每个节点的data我们无法改变，为了保证treap的平衡性，我们需要让每个节点的value均为随机值，这样我们就可以保证这棵树“基本平衡”。
统计
\(up\)：计算儿子数
void up(int x)
{
t[x].siz=t[t[x].left].siz+t[t[x].right].siz+1;
}
旋转
右旋就是，让当前节点降为自己的右儿子，让左儿子代替自己，并让自己左儿子的右儿子成为自己的左儿子。
左旋相反，让当前节点降为自己的左儿子，让右儿子代替自己，并让自己右儿子的左儿子成为自己的右儿子。
注：代码中的now加上了&是为了可以在函数中同时更改now的值。如上图右旋时，原来now指向\(a\)节点，运行完函数后指向\(b\)节点。
void right_rorate(int &now)
{
int tmp=t[now].left;
t[now].left=t[tmp].right;
t[tmp].right=now;
t[tmp].siz=t[now].siz;
up(now);
now=tmp;
}
void left_rorate(int &now)
{
int tmp=t[now].right;
t[now].right=t[tmp].left;
t[tmp].left=now;
t[tmp].siz=t[now].siz;
up(now);
now=tmp;
}
旋转实例：
插入
给节点随机分配一个优先级(value)，先把要插入的点插入到一个叶子上，然后跟维护堆一样，我们维护一个 小根堆，如果当前节点的优先级比它的儿子大就旋转，如果当前节点是根的左儿子就右旋，如果当前节点是根的右儿子就左旋。
void insert(int &now,int data)
{
if(now==0)
{
now=++cnt;
t[now].siz=1;
t[now].data=data;
t[now].value=rand()*rand()%19620817;
return ;
}
t[now].siz++;
if(data>=t[now].data)
{
insert(t[now].right,data);
}
else
{
insert(t[now].left,data);
}
if(t[now].left!=0&&t[now].value>t[t[now].left].value)
{
right_rorate(now);
}
if(t[now].right!=0&&t[now].value>t[t[now].right].value)
{
left_rorate(now);
}
up(now);
}
删除
因为\(treap\)满足堆性质，所以只需要把要删除的节点旋转到叶节点上，然后直接删除就可以了。
具体的方法：
如果该节点的左子节点的优先级小于右子节点的优先级，右旋该节点，使该节点降为右子树的根节点，然后访问右子树的根节点，继续操作；
反之，左旋该节点,使该节点降为左子树的根节点，然后访问左子树的根节点，继续操作，直到变成可以直接删除的节点。
（即：让value的结点旋到上面，满足堆的性质）
void erase(int &now,int data)
{
t[now].siz--;
if(t[now].data==data)
{
if(t[now].left==0&&t[now].right==0)
{
now=0;
return ;
}
if(t[now].left==0||t[now].right==0)
{
now=t[now].left+t[now].right;
return ;
}
if(t[t[now].left].value<t[t[now].right].value)
{
right_rorate(now);
erase(t[now].right,data);
return ;
}
else
{
left_rorate(now);
erase(t[now].left,data);
return ;
}
}
if(t[now].data>=data)
{
erase(t[now].left,data);
}
else
{
erase(t[now].right,data);
}
up(now);
}
查询排名
显然，若t[now].data<data，则在now的右子树中仍有部分小于data的数，所以在加上t[t[now].left].siz+1的同时还需在now的右子树中继续递归。反之，则只需在左子树中递归
int rank(int now,int data)
{
if(now==0)
{
return 0;
}
if(data>t[now].data)
{
return t[t[now].left].siz+1+rank(t[now].right,data);
}
return rank(t[now].left,data);
}
查询排名为\(x\)的数
若左子树的大小刚好为\(x-1\)，则当前节点的data即为所求结果。
若左子树的大小大于\(x-1\)，则在右子树中递归查找。
若左子树的大小小于\(x-1\)，则在左子树中递归查找。
int find(int now,int rank)
{
if(rank==t[t[now].left].siz+1)
{
return t[now].data;
}
if(rank>t[t[now].left].siz+1)
{
return find(t[now].right,rank-t[t[now].left].siz-1);
}
return find(t[now].left,rank);
}
查询前驱
函数定义：
int query_pre(int now,int data)
若now==0，则不存在返回值（return 0）。
若当前节点的值大于等于data，则在右子树中找。（必须包含等于！！！）
若当前节点的值小于data，则在左子树中找，若找不到，则返回当前节点的值。（不能有等于！！！）
int query_pre(int now,int data)
{
if(now==0)
{
return 0;
}
if(t[now].data>=data)
{
return query_pre(t[now].left,data);
}
int tmp=query_pre(t[now].right,data);
if(tmp==0)
{
return t[now].data;
}
return tmp;
}
查询后继
与前驱几乎相同（略）
int query_suf(int now,int data)
{
if(now==0)
{
return 0;
}
if(t[now].data<=data)
{
return query_suf(t[now].right,data);
}
int tmp=query_suf(t[now].left,data);
if(tmp==0)
{
return t[now].data;
}
return tmp;
}
洛谷p3369完整代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct treap
{
int data;
int value;
int left;
int right;
int siz;
};
treap t[100005];
int cnt;
int root;
void up(int x)
{
t[x].siz=t[t[x].left].siz+t[t[x].right].siz+1;
}
void right_rorate(int &now)
{
int tmp=t[now].left;
t[now].left=t[tmp].right;
t[tmp].right=now;
t[tmp].siz=t[now].siz;
up(now);
now=tmp;
}
void left_rorate(int &now)
{
int tmp=t[now].right;
t[now].right=t[tmp].left;
t[tmp].left=now;
t[tmp].siz=t[now].siz;
up(now);
now=tmp;
}
void insert(int &now,int data)
{
if(now==0)
{
now=++cnt;
t[now].siz=1;
t[now].data=data;
t[now].value=rand()*rand()%19620817;
return ;
}
t[now].siz++;
if(data>=t[now].data)
{
insert(t[now].right,data);
}
else
{
insert(t[now].left,data);
}
if(t[now].left!=0&&t[now].value>t[t[now].left].value)
{
right_rorate(now);
}
if(t[now].right!=0&&t[now].value>t[t[now].right].value)
{
left_rorate(now);
}
up(now);
}
void erase(int &now,int data)
{
t[now].siz--;
if(t[now].data==data)
{
if(t[now].left==0&&t[now].right==0)
{
now=0;
return ;
}
if(t[now].left==0||t[now].right==0)
{
now=t[now].left+t[now].right;
return ;
}
if(t[t[now].left].value<t[t[now].right].value)
{
right_rorate(now);
erase(t[now].right,data);
return ;
}
else
{
left_rorate(now);
erase(t[now].left,data);
return ;
}
}
if(t[now].data>=data)
{
erase(t[now].left,data);
}
else
{
erase(t[now].right,data);
}
up(now);
}
int rank(int now,int data)
{
if(now==0)
{
return 0;
}
if(data>t[now].data)
{
return t[t[now].left].siz+1+rank(t[now].right,data);
}
return rank(t[now].left,data);
}
int find(int now,int rank)
{
if(rank==t[t[now].left].siz+1)
{
return t[now].data;
}
if(rank>t[t[now].left].siz+1)
{
return find(t[now].right,rank-t[t[now].left].siz-1);
}
return find(t[now].left,rank);
}
int query_pre(int now,int data)
{
if(now==0)
{
return 0;
}
if(t[now].data>=data)
{
return query_pre(t[now].left,data);
}
int tmp=query_pre(t[now].right,data);
if(tmp==0)
{
return t[now].data;
}
return tmp;
}
int query_suf(int now,int data)
{
if(now==0)
{
return 0;
}
if(t[now].data<=data)
{
return query_suf(t[now].right,data);
}
int tmp=query_suf(t[now].left,data);
if(tmp==0)
{
return t[now].data;
}
return tmp;
}
int main()
{
srand(19620817);
int n;
cin>>n;
int opt,data;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d %d",&opt,&data);
if(opt==1)
{
insert(root,data);
}
if(opt==2)
{
erase(root,data);
}
if(opt==3)
{
printf("%d\n",rank(root,data)+1);
}
if(opt==4)
{
printf("%d\n",find(root,data));
}
if(opt==5)
{
printf("%d\n",query_pre(root,data));
}
if(opt==6)
{
printf("%d\n",query_suf(root,data));
}
}
return 0;
}
注：本文部分图片来自brave_cattle的blog（自己学的时候参考的）
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