【一级讲解】韩信点兵——中国剩余定理

韩信点兵

相传韩信才智过人，从不直接清点自己军队的人数，只要让士兵先后以三人一排、五人一排、七人一排地变换队形，而他每次只掠一眼队伍的排尾就知道总人数了。输入3个非负整数a,b,c ，表示每种队形排尾的人数（a<3,b<5,c<7），输出总人数的最小值（或报告无解）。已知总人数不小于10，不超过100 。

• 输入
  输入3个非负整数a,b,c ，表示每种队形排尾的人数（a<3,b<5,c<7）。例如,输入：2 4 5
• 输出
  输出总人数的最小值（或报告无解，即输出No answer）。实例，输出：89

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问题分析：

呐呐呐，不得不说，这是我大学做的第一道编程题，其实很多人会问，这不是枚举法么，从1到100一个一个数判断不就好了？和中国剩余定理有什么关系呢？是的，一开始我写的代码也是枚举法的代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
    int a,b,c,i;
    
    cin >> a >> b >> c;
    
    for( i=10; i<=100; i++ )
	{
        if( i%3==a && i%5==b && i%7==c )
		{
            cout << i;
            break;
        }
    }
    if(i==101)
        printf("No answer\n");
    
    return 0;
}

但其实这道题是中国剩余定理的典型例题，古人也因此总结出了一个口诀

三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝，
七子团圆正月半，
除百零五便得知。

所以这个题目的通式答案就是70a+21b+15c+105n，其中n可以根据需要取正或取负，详细证明过程就省略啦~

其实上述的代码根据古人的口诀在面对多个余数的时候其实可以优化减少时间复杂度的~

还有和韩信点兵类似的问题，只是换了一个包装而已，古今中外都来一下，这样才有国际范（笑）比如

爱因斯坦曾出过这样一道有趣的数学题，有一个长阶梯，每步上2阶，最后剩1阶；若每步上3阶，最后剩2阶，若每步上5阶，后剩4阶；若每步上6阶，最后剩5阶；只有每步上7阶，最后一阶也不剩。问至少有多少阶阶梯？

但其实中国剩余定理还提到了同余方程组的问题可以解决类似的相关余数问题，这里就不重点讲述了。