PCA降维原理

PCA 简介

主成分分析（PCA）是最流行的降维算法，通过把数据从高维映射到低维来降低特征维度，同时保留尽可能多的信息。

在进行图像识别以及高维度数据降维处理中有很强的应用性，算法主要通过计算，选择特征值较大的特征向量来对原始数据进行基变换，不仅可以去除无用的噪声，还能减少计算量；广泛应用于降维、有损数据压缩、特征提取、数据可视化等领域。

三个数学概念

方差：衡量变量的离散程度。

协方差：衡量两个变量的相关度，协方差为正时说明 X 和 Y 是正相关关系，协方差为负时 X 和 Y 是负相关关系，协方差为 0 时 X 和 Y 相互独立。

由于只能使用样本均值代替总体均值，所以分母除以 m-1，才是总体方差/协方差的无偏估计。其实，数据集样本量大的话，除以 m-1 和除以 m 区别不大。
协方差矩阵：协方差矩阵是包含与多个变量相关的方差和协方差的方阵。矩阵的对角元素为变量的方差，而非对角元素为所有变量对之间的协方差。

PCA 降维原理

以二维降一维为例：

PCA 降维的本质是，尽量保证数据在空间中的相对位置不变，通过旋转坐标系，换一个在某些维度能表达更多数据信息的坐标系去刻画数据。如上图所示，在新的坐标系下，主元2对应的维度，对刻画数据不起任何作用，可以直接把这个维度去掉，达到降维的目的。

降维后，如果数据的相对位置完全不变，就是无损降维；如果数据的相对位置稍稍改变，就是有损降维。

降维的数学描述

坐标系变换的数学语言描述是基变换，坐标系对应的基为一组两两正交的单位向量。
以二维数据为例，下面是一个坐标系变换（基变换）的例子：

旋转坐标系到什么时候为止呢？
用数学语言表述：将一组 N 维向量降为 K 维，PCA 的做法是选择 K 个单位正交基，使得原始数据变换到这组基上后，变量之间的协方差都为 0，变量自身的方差尽可能大。

为什么要变量的方差尽可能的大？
方差越大，说明数据越分散，包含的信息量越多；方差越小，说明数据越紧密，越难区分。甚至方差小到一定程度，数据会重叠消失。

为什么要变量间的协方差都为 0？
协方差表示两个变量的相关性，相关性意味着两个变量不完全独立，必然存在重复表示的信息。而协方差为 0，表示两变量相互独立，表示的信息最大。

去均值化：让每个变量都减去自己的均值。

去均值化的目的是简化协方差的表达，最终目的是简化协方差矩阵的表达。

假设我们只有 a 和 b 两个变量，将它们按行组成矩阵 X：

则：

可知，$\frac{1}{m-1}XX^T$m−11​XXT 就是矩阵 X 的协方差矩阵。

设 X 是原始数据，Y 是对 X 做基变换后的数据：

Y 的协方差矩阵为：

上式表达的其实是 Y 的协方差矩阵和 X 的协方差矩阵之间的关系。我们现在的目标就是：寻找一个矩阵 P，使得 D 是一个对角阵。所以 C 对应特征值最大的前 K 个特征向量就是我们要找的基。（这中间涉及到一点线性代数的知识，C 是一个对称阵，要让 D 对角化，求 C 的特征值和特征向量即可，用 C 的特征向量组成 P，得到的 D 就是对角阵，且对角线上的元素就是 C 的特征值。）

PCA 降维的流程：

SVD（奇异值分解）

PCA 与 SVD 的奇异向量的压缩效果相同。至于是与左奇异向量压缩效果相同，还是与右奇异向量压缩效果相同，取决于你的原始矩阵是用行表示样本还是用列表示样本。如果用列表示样本，行表示样本维度，那么PCA 就与 SVD 的右奇异向量的压缩效果相同。反之，与左奇异向量的压缩效果相同。

由于 SVD 有更高效的方法求解，所以实际中经常会使用 SVD 求解 PCA，比如 sklearn 就是这样做的。

注意 SVD 本身与 PCA 的原理无关！

代码实操

导入 python sklearn.decomposition 下的 PCA 包。
包内：
fit_transform(X)：用 X 来训练 PCA 模型，同时返回降维后的数据。
inverse_transform(newData)：将降维后的数据转换为原始维度数据，可能和原始数据有些许差别。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.decomposition import PCA

# 原始数据
X = np.array([[-1, -1], [-2, -1], [-3, -2], [1, 1], [2, 1], [3, 2]]);

# pca降维
pca = PCA(n_components = 1)
X1 = pca.fit_transform(X)
Y = pca.inverse_transform(X1)
print('原始数据：')
print(X)
print('降维后的数据：')
print(X1)
print('还原的数据：')
print(Y)


# 绘制散点图，可视化数据
fig = plt.figure()
ax1 = fig.add_subplot(121)
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
ax1.scatter(X[:,0],X[:,1],c='r',marker='o')
# 绘制还原后的数据
ax2 = fig.add_subplot(122)
plt.xlabel('X')
ax2.scatter(Y[:,0],Y[:,1],c='b',marker='x')
plt.show()

运行结果：

参考文献：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/77151308
https://www.zhihu.com/question/41120789/answer/481966094