PCA降维原理及其代码实现（附加 sklearn PCA用法参数详解）

学习笔记

本篇博文绝大多数来源于书籍《机器学习实战》
记录自己的学习笔记而已。

降维作用
（1）使得数据集更容易使用
（2）降低很多算法的计算开销
（3）去除噪声
（4）多维数据不容易画图，降低维度容易画图，使结果容易理解。

优点：降低数据的复杂性，识别出最重要的多个特征。
缺点：不一定需要，有可能损失掉有用信息，仅适用于数值数据。

PCA原理
在PCA中，数据从原来的坐标系转换到了新的坐标系。新坐标系的选择是由数据本身决定的。第一个新坐标轴选择的是原始数据中方差最大的方向，第二个新坐标轴的选择和第一个坐标轴正交且具有最大方差的方向。该过程一直重复，重复次数为原始数据中特征的数目。会发现，大部分方差都包含在最前面的几个新坐标轴中。因此我们可以只选择前面几个坐标轴，即对数据进行了降维处理。（大白话讲解：选择坐标轴的依据是尽可能保留原始数据。降维即把数据投影在这个坐标轴上或者几个坐标轴构成的‘平面’上）。

PCA相关算法
前面提到数据的第一个主成分是从数据差异最大（即方差最大）的方向提取出来。第二个主成分是数据差异性次大的方向，并且与第一个主成分正交。通过数据集的协方差矩阵及其特征值分析，我们就可以拿到这些主成分的值。
一旦得到协方差矩阵的特征向量，取出最大的N个值。这些特征向量也给出了N个最重要特征的真实结构。将数据乘上这N个特征向量转换到新的数据空间。
特征值分析
在 AV=aV中，V是特征向量，a是特征值，是简单的标量。等式的含义是：如何特征向量V被某个矩阵A左乘，那么它就等于某个标量a乘以V。
numpy里有特征向量和特征值的模块linalg。其中eig()方法用于求特征向量和特征值。

PCA原理实现

原始数据.txt
数据为两维，将其降维1维。
选用两维是因为可以可视化。

代码
python 3

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
函数说明：解析文本数据

Parameters:
filename - 文件名
delim - 每一行不同特征数据之间的分隔方式，默认是tab键‘\t’

Returns:
j将float型数据值列表转化为矩阵返回

"""
def loadDataSet(filename, delim='\t'):
    fr = open(filename)
    stringArr = [line.strip().split(delim) for line in fr.readlines()]
    datArr = [list(map(float, line)) for line in stringArr]
    return np.mat(datArr)


"""
函数说明：PCA特征维度压缩函数

Parameters:
dataMat - 数据集数据
topNfeat - 需要保留的特征维度，即要压缩成的维度数，默认4096

Returns:
lowDDataMat - 压缩后的数据矩阵
reconMat - 压缩后的数据矩阵反构出原始数据矩阵

"""
def pca(dataMat, topNfeat=4096):
    # 求矩阵每一列的均值
    meanVals = np.mean(dataMat, axis=0)
    # 数据矩阵每一列特征减去该列特征均值
    meanRemoved = dataMat - meanVals
    # 计算协方差矩阵，处以n-1是为了得到协方差的无偏估计
    # cov(x, 0) = cov(x)除数是n-1(n为样本个数)
    # cov(x, 1)除数是n
    covMat = np.cov(meanRemoved, rowvar=0)
    # 计算协方差矩阵的特征值及对应的特征向量
    # 均保存在相应的矩阵中
    eigVals, eigVects = np.linalg.eig(np.mat(covMat))
    # sort():对特征值矩阵排序(由小到大)
    # argsort():对特征矩阵进行由小到大排序，返回对应排序后的索引
    eigValInd = np.argsort(eigVals)
    # 从排序后的矩阵最后一个开始自下而上选取最大的N个特征值，返回其对应的索引
    eigValInd = eigValInd[: -(topNfeat+1): -1]
    # 将特征值最大的N个特征值对应索引的特征向量提取出来，组成压缩矩阵
    redEigVects = eigVects[:, eigValInd]
    # 将去除均值后的矩阵*压缩矩阵，转换到新的空间，使维度降低为N
    lowDDataMat = meanRemoved * redEigVects
    # 利用降维后的矩阵反构出原数据矩阵(用作测试，可跟未压缩的原矩阵比对)
    # 此处用转置和逆的结果一样redEigVects.I
    reconMat = (lowDDataMat * redEigVects.T) + meanVals
    print(reconMat)
    # 返回压缩后的数据矩阵及该矩阵反构出原始数据矩阵
    return lowDDataMat, reconMat


if __name__ == '__main__':
    dataMat = loadDataSet('数据.txt')
    lowDmat, reconMat = pca(dataMat, 1)
    print(np.shape(lowDmat))
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)
    ax.scatter(dataMat[:, 0].flatten().A[0], dataMat[:, 1].flatten().A[0], marker='^', s=90)
    ax.scatter(reconMat[:, 0].flatten().A[0], reconMat[:, 1].flatten().A[0], marker='o', s=90, c='red')
    plt.show()

lowDmat, reconMat 一个为降维后的数据，一个为重构后的数据。
（重构为原来的数据格式，去除了一些噪声）
在真实算例中，自己选择要降维后的数据还是重构数据。
如图片数据pca后，肯定要选择重构数据。降维后的数据构不成一张图呀。

解释：
PCA（）里有两个参数，第一个参数为数据集，第二个参数为降的维度，降到多少维。
PCA伪代码：
1.去除平均值： meanVals = np.mean(dataMat, axis=0)
2.计算协方差矩阵：covMat = np.cov(meanRemoved, rowvar=0)
3.计算协方差矩阵的特征值和特征向量：covMat = np.cov(meanRemoved, rowvar=0)
4.将特征值从大到小排序： eigValInd = np.argsort(eigVals)
# 从排序后的矩阵最后一个开始自下而上选取最大的N个特征值，返回其对应的索引
eigValInd = eigValInd[: -(topNfeat+1): -1]
5.保留最上面的N个特征向量： # 将特征值最大的N个特征值对应索引的特征向量提取出来，组成压缩矩阵
redEigVects = eigVects[:, eigValInd]
6.将数据转换到上述N个特征向量构建的新空间中，根据公式重构。（逆公式）

结果：
图中红色为重构后的数据

PCA调包实现

导入包

from sklearn.decomposition import PCA

用法：

PCA（）参数	说明
n_components	int, float, None 或 string，PCA算法中所要保留的主成分个数，也即保留下来的特征个数，如果 n_components = 1，将把原始数据降到一维；如果赋值为string，如n_components=‘mle’，将自动选取特征个数，使得满足所要求的方差百分比；如果没有赋值，默认为None，特征个数不会改变（特征数据本身会改变）。
copy	True 或False，默认为True，即是否需要将原始训练数据复制。
whiten：	True 或False，默认为False，即是否白化，使得每个特征具有相同的方差。

属性	说明
explained_variance_ratio_	返回所保留各个特征的方差百分比，如果n_components没有赋值，则所有特征都会返回一个数值且解释方差之和等于1。
n_components_：	返回所保留的特征个数

方法	说明
fit(X):	用数据X来训练PCA模型。
fit_transform(X)	用X来训练PCA模型，同时返回降维后的数据。
inverse_transform(newData)	newData 为降维后的数据。将降维后的数据转换成原始数据，但可能不会完全一样，会有些许差别。
transform(X)	将数据X转换成降维后的数据，当模型训练好后，对于新输入的数据，也可以用transform方法来降维

例子：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


#导入数据
def loadDataSet(filename, delim='\t'):
    fr = open(filename)
    stringArr = [line.strip().split(delim) for line in fr.readlines()]
    datArr = [list(map(float, line)) for line in stringArr]
    return np.mat(datArr)
dataMat = loadDataSet('数据.txt')
#导入PCA

from sklearn.decomposition import PCA
pca = PCA(n_components=1)
pca.fit(dataMat)
lowDmat=pca.transform(dataMat)#降维后的数据
print('降维后的数据维度：',lowDmat.shape)
reconMat=pca.inverse_transform(lowDmat)#s重构数据
print("重构后的数据维度：",reconMat.shape)#重构数据维度

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.scatter(dataMat[:, 0].flatten().A[0], dataMat[:, 1].flatten().A[0], marker='^', s=90)
ax.scatter(reconMat[:, 0], reconMat[:, 1], marker='o', s=90, c='red')
plt.show()

注意：重构 输入的是降维后的数据 reconMat=pca.inverse_transform(lowDmat)#s重构数据
结果：

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