【剑指offer】_13 圆圈中最后的数

题目描述

年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0…m-1报数…这样下去…直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友的编号是从0到n-1)
如果没有小朋友，请返回-1

解题思路

我们注意到，输入的序列在删除一个元素后，序列的长度会改变，如果索引(数组下标)
在被删除的元素位置开始计算，那么每删除一个元素，序列的长度减一而索引会完全改变。
如果能找到改变前的索引和新索引的对应关系，那么该问题就容易解决了。

我们定义一个函数f(n, m)，表示每次在n个数字0,1,2,3,…,n-1中每次删除第m个数字后剩下
的数字。那么第一个被删除的数字的索引是(m-1)%n(例如一共有10个孩子，第五个走，那么走的孩子在数组中的下标为(5-1)%10=4)。
删除该索引元素后，剩下的n-1个数字
为0,1,2,…,k-1,k+1,…,n-1。下次删除数字是从k+1位置开始，于是可以把序列看作k+1,..,n-1,0,1,…,k-1。该序列最后剩下的序列也是f的函数。但该函数和第一个函数不同，存在映射关系，使用f’来表示，于是有：f(n, m)=f’(n-1, m)。接下来需要找到映射关系。

给出一个序列，从0～n-1编号。其中，k代表出列的序号的下一个，即k-1出列。

a 0, 1, …, k-1, k, k+1, …, n-1

那么，出列的序号是(m-1)%n，k=m%n（这个可真的是显而易见）。出列k-1后，序列变为

b 0, 1, …, k-2, k, k+1, …, n-1

然后，我们继续从n-1后延长这个序列，可以得到

c’ 0, 1, …, k-2, k, k+1, …, n-1, n, n+1, …, n+k-2

我们取从k开始直到n+k-2这段序列。其实这段序列可以看作将序列b的0~k-2段移到了b序列的后面。这样，得到一个新的序列

c k, k+1, …, n-1, n, n+1, …, n+k-2

好了，整个序列c都减除一个k，得到

d 0, 1, …, n-2

c序列中的n-1, n, n+1都减除个k是什么？这个不需要关心，反正c序列是连续的，我们知道了头和尾，就能知道d序列是什么样的。
这样你看，从序列a到序列d，就是一个n序列到n-1序列的变化，约瑟夫环可以通过递推来获得最终结果。ok，继续向下。

剩下的就是根据n-1序列递推到n序列。假设在n-1序列中，也就是序列d中，我们知道了最终剩下的一个序号是x
往回推

1. d->c，刚才是同时减了个k，这回再同时加个k，就是x+k；

2. c->b,(x+k)%n。%n以后。k ~ n-1这段序列值不会发生变化，而n~n+k-2这段序列则变成了0～k-2；这两段序列合起来，就是序列b。

3. x=(x+k)%n。并且，k=m%n，所以x=(x+m%n)%n=(x+m)%n;

4. f[i]=(f[i-1]+m)%i

代码实现

class Solution {
public:
    int LastRemaining_Solution(int n, int m)
    {
        if(n==0)
            return -1;
        if(n==1)
            return 0;
        return (LastRemaining_Solution(n-1,m)+m)%n;
    }
};