剑指offer JZ31 整数中1出现的次数 Python 解

一.题目描述

求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数（从1 到 n 中1出现的次数）。

二.解题思路

1.暴力法：从1~n迭代，计算每个数字中1的数量然后累加。复杂度应该是 O(NlgN)

2.归纳法：

2.1

简单来说，分别归纳个位，十位和百位上1的出现次数，然后累加。

2.1部分来自牛客网用户id Duqcuiq讲解，2.2参考牛客网。

链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/bd7f978302044eee894445e244c7eee6
来源：牛客网
 

个位

我们知道在个位数上，1会每隔10出现一次，例如1、11、21等等，我们发现以10为一个阶梯的话，每一个完整的阶梯里面都有一个1，例如数字22，按照10为间隔来分三个阶梯，在完整阶梯0-9，10-19之中都有一个1，但是19之后有一个不完整的阶梯，我们需要去判断这个阶梯中会不会出现1，易推断知，如果最后这个露出来的部分小于1，则不可能出现1（这个归纳换做其它数字也成立）。

我们可以归纳个位上1出现的个数为：

n/10 * 1+(n%10!=0 ? 1 : 0)

十位

现在说十位数，十位数上出现1的情况应该是10-19，依然沿用分析个位数时候的阶梯理论，我们知道10-19这组数，每隔100出现一次，这次我们的阶梯是100，例如数字317，分析有阶梯0-99，100-199，200-299三段完整阶梯，每一段阶梯里面都会出现10次1（从10-19），最后分析露出来的那段不完整的阶梯。我们考虑如果露出来的数大于19，那么直接算10个1就行了，因为10-19肯定会出现；如果小于10，那么肯定不会出现十位数的1；如果在10-19之间的，我们计算结果应该是k - 10 + 1。例如我们分析300-317，17个数字，1出现的个数应该是17-10+1=8个。

那么现在可以归纳：十位上1出现的个数为：

• 设k = n % 100，即为不完整阶梯段的数字
• 归纳式为：(n / 100) * 10 + (if(k > 19) 10 else if(k < 10) 0 else k - 10 + 1)

百位

现在说百位1，我们知道在百位，100-199都会出现百位1，一共出现100次，阶梯间隔为1000，100-199这组数，每隔1000就会出现一次。这次假设我们的数为2139。跟上述思想一致，先算阶梯数 * 完整阶梯中1在百位出现的个数，即n/1000 * 100得到前两个阶梯中1的个数，那么再算漏出来的部分139，沿用上述思想，不完整阶梯数k199，得到100个百位1，100<=k<=199则得到k - 100 + 1个百位1。

那么继续归纳百位上出现1的个数：

• 设k = n % 1000
• 归纳式为：(n / 1000) * 100 + (if(k >199) 100 else if(k < 100) 0 else k - 100 + 1)

后面的依次类推....

再次回顾个位

我们把个位数上算1的个数的式子也纳入归纳式中

• k = n % 10
• 个位数上1的个数为：n / 10 * 1 + (if(k > 1) 1 else if(k < 1) 0 else k - 1 + 1)

完美！归纳式看起来已经很规整了。 来一个更抽象的归纳，设i为计算1所在的位数，i=1表示计算个位数的1的个数，10表示计算十位数的1的个数等等。

• k = n % (i * 10)
• count(i) = (n / (i * 10)) * i + (if(k > i * 2 - 1) i else if(k < i) 0 else k - i + 1)

 2.2 另一种理解

假设我们从右至左分别计算每一位上1的个数，

简单来说，比如我想求某一位上1的个数，很显然它受到到高位和低位的影响。

1.如果该位(我要求的这位）值为0，那么该位1的个数仅受高位的影响，1个数 count=高位数*当前位数，（可以这样理解，前面的高位数是当当前位位1的时候，高位可以有多少种可能，与当前位数相乘是因为只要当前位位1，低位数不管是什么数都okay）

比如1204，对于十分位来说，它1个个数位12*10=120，比如 11,21,...1111,1211等。

2.如果该位之为1，该位1的个数为：高位数*当前位数+低位数。因为当前位为1的时候，低位数不管是啥数都okay，比如12123，

只要前面是121，后面低位数是啥都满足百位数为1.

3.如果该位为2～9，和情况1类似，仅由高位数决定，因为2～9大于1，所以要多加一个当前位数，比如12323，百位上3大于1，其实是包含了121XX的情况。此时count=(高位数+1)*当前位数。

三.源码

# 1 暴力
class Solution:
    def NumberOf1Between1AndN_Solution(self, n):
        # write code here
        def calculateOne(num):
            rst=0
            while num:
                rst+=num%10==1
                num/=10
            return rst
        rst=0
        return sum([calculateOne(i) for i in range(n+1)])

# 2 归纳
class Solution:
    def NumberOf1Between1AndN_Solution(self, n):
        # write code here
        i,rst=1,0
        while i<=n:
            # 小优化，if判断改成min max
            rst+=n/(10*i)*i+min(max(n%(i*10)-i+1,0),i)
            i*=10
        return rst

 

 

 

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