微分几何的20-23节笔记

微分几何笔记

第20节：曲面理论的本章脉络

正则曲线(切向量不为零)>>切线>>弧长（度量）>>活动标架>>曲率挠率>>基本公式>>基本定理
典例

正则曲面>>切平面>>度量(第一基本形式)>>活动标架>>局部形状（第二基本形式）>>基本公式>>基本定理
光滑曲面（C^无穷）的

r=r(u,v)
u=u0 的u曲线 v=v0 的v曲线 坐标曲线

第21，22节： 切平面

过点与面相切的平面
u曲线的切向量 r’v
v曲线的切向量 r’u
称为坐标向量

坐标曲线网：u,v曲线构成
典例
：
平面：r=r0+ua+vb(a,b不平行)
球面：x^(2) + y^(2) +z^(2) = a^(2) 平角为u 立角v
r=(acosvcosu,acosvsinu,asinv) u在（0，2pi）为了保证区域（区域是开集）v在（-pi/2,p/2）

切平面:
曲面上的一般曲线u=u(t);v=v(t)

   r=r(u(t),v(t))

   r'=r'uu'+r'vv'（曲线的切向量可由r'u和r'v线性表示，反之如何证明：？）
                   设ar'u+br'v在切平面，令：曲线为 u=u0+at v=v0+bt
                   r'=r'ua+r'vb 以上说明：切平面上的任意向量的却为某一曲线的切向量
                   T=span{r'u，r'v}

定义:过点p,由r’u和r’v确定的平面 记为：T
方程形式：T=ρ(a,b)=r0+ar’u+br’v

如此可将T写成：
点法式：(p-r0)chacheng n=0
切平面的单位法向量n：r’u r’v的叉乘除以内积的模
点位式：混合积为零：(p-r0，r’u,r’v)=0
混合积的几何意义: 几何上,由三个向量定义的平行六面体,其体积等于三个标量标量三重积的绝对值:
曲面方程的形式

方程的另一形式：隐函数F（x,y,z）=0
由隐函数存在性定理可知：
F’z不等于零则z可表达为xy的显式函数 其他同理
法向量：▽F=（F’x,F’y,F’z）只要有一个不等于零，向量不为零
显示方程表示的函数一定是正则曲面（前提C^k）

隐函数定理
? 存在唯一性定理
? 可微性定理
说得简单一些吧，现在已经两个变量之间的一个关系：F(x,y）=0，能否确定一个函数关系，即y=f(x)？，由链式求导法则可知，对y偏导做分母应不为零。（注：需满足连续，可导等前提）

隐函数存在定理与几何解释
https://blog.51cto.com/10901086/2146928
https://zhuanlan.zhihu.com/p/70286816
https://wenku.baidu.com/view/e21b710a844769eae009edca.html

第23节

看看以上的变量（T）是否为参数不变量 可定向曲面：若单位法向量眼任意曲线移动后回到原来的位置不变 反例：莫比乌斯带

σ：D ----》 D~
（u,v）-》（u_,v）
满足：
σ是一一的
σ σ^{-1在D上是C}k的
雅可比行列式（叉乘结果为实数） 偏导数（u,v）/偏导数（u_,v） 不为零（保证正则性的）
（r’u_{）=r’u*pianu/painu}+r’vpianv/painu~
（r’v_{）=r’u*pianu/painv}+r’vpianv/painv~ 全导数https://baike.baidu.com/item/%E5%85%A8%E5%AF%BC%E6%95%B0/7146883?fr=aladdin
可得：（u~ ， v~）=雅可比矩阵（u,v） 当雅可比矩阵大于零时保证变换是同向的

命题：曲面的切屏面实在参数变换（可允许的）下不变的
上边的公式已经证明了法线的方向是不变的 同时切点不变 显然得证

练习题4：
第一小问：不需要证明 交换后仍为正交标价 只需证明其为两两正交的单位向量即可

    第二小问：正交矩阵进行偶次交换得到的行列式不变（1或-1）
            （设A是正交矩阵，
              则 AA^T=E，两边取行列式得 
                |AA^T| = |E| = 1
             而 |AA^T| = |A||A^T| = |A||A| = |A|^2
           所以 |A|^2= 1
           所以 |A| = 1 or -1. ）

许多计算使用基本公式能十分简化计算