动态规划--最小路径和

110. 最小路径和

给定一个只含非负整数的m*n网格，找到一条从左上角到右下角的可以使数字和最小的路径。

 

注意事项

你在同一时间只能向下或者向右移动一步

样例1：
1 3 1

1 5 1

4 2 1

输出：7

样例2：

1 3 5 9 
8 1 3 4 
5 0 6 1 
8 8 4 0 

输出：12

解题思路：经过了一上午的痛苦挣扎，终于能自己解的差不多。但是还是参考了一下大佬的代码。~~~

计算到达当前位置路径，是在上一步的基础上的，要使走到当前位置时所需路径最少，必须保证从上一步走来的时候步数是最小的，而且题目规定了走的方向，所以只需选出两个方向中较小的一个并加上当前位置的权值，得出的就是当前位置的最小路径。

感觉自己说的有点乱，贴下大佬的描述：

使用动态规划，定义 dp[M][N] , M ,N 分别代表矩阵的行和列数 dp[i][j] 表示从左上角到矩阵（i，j）位置是的最短路径和。则可知 到（i，j）位置有两种情况：1）由（i-1，j）向下走，2）由（i，j-1）向右走，所以dp[i][j]=Math.min（dp[i-1][j],dp[i][j-1]）+m[i][j];对于dp[0][j] 只能由 dp[0][j-1] 向右走，dp[i][0] 只能由 dp[i-1][0] 向下走。所以 dp[0][j]=dp[0][j-1]+m[0][j], dp[i][0]=dp[i-1][0]+m[i][0].

自己写的代码：

public class Solution {
    /**
     * @param grid: a list of lists of integers
     * @return: An integer, minimizes the sum of all numbers along its path
     */
    public int minPathSum(int[][] grid) {
        // write your code here
        if(grid == null || grid[0] == null)
            return -1;
        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;
        int[][] dp = new int[m][n];
        dp[0][0] = grid[0][0];
        for(int i=1;i<m;i++)
            dp[i][0] = grid[i][0]+dp[i-1][0];
        for(int j=1;j<n;j++)
            dp[0][j] = grid[0][j]+dp[0][j-1];
        for(int i=1;i<m;i++)
            for(int j=1;j<n;j++)
                dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i][j];
        return dp[m-1][n-1];
    }
}

大佬的优化解法：

思路： 
解法1中使用dp数组的空间大小为M*N，其实可以对dp数组的空间压缩至N，定义大小为N的dp数组，对于第一行，dp[i]=dp[i-1]+m[0][i],在求第二行中的 dp[i] 时可以覆盖第一行 dp[i] ,第二行dp[i]=Math.min（dp[i],dp[i-1]）+m[i][j]。

代码：

public static int shortestRoad1(int arr[][])
    {
        int dp[]=new int[arr[0].length];
        dp[0]=arr[0][0];
        for(int j=1;j<arr[0].length;j++)
        {
            dp[j]=dp[j-1]+arr[0][j];
            //求出第一行的dp
        }
        for(int i=1;i<arr.length;i++)
        {
            dp[0]=arr[i][0]+dp[0];
            //dp[0]代表每一行最左边的dp，
            //后一行的dp覆盖前一行的dp
            for(int j=1;j<arr[0].length;j++)
            {
                dp[j]=Math.min(dp[j-1]+arr[i][j], dp[j]+arr[i][j]);
            }
        }               
        return dp[arr[0].length-1];
    }

来源：https://blog.csdn.net/u013309870/article/details/69569456