409，动态规划求不同路径

想了解更多数据结构以及算法题，可以关注微信公众号“数据结构和算法”，每天一题为你精彩解答。也可以扫描下面的二维码关注

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

示例 1:

输入: m = 3, n = 2

输出: 3

解释:

从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向右 -> 向下

2. 向右 -> 向下 -> 向右

3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3

输出: 28

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 10 ^ 9

动态规划解决

注意这里机器人只能向下和向右移动，不能往其他方向移动，我们用dp[i][j]表示到坐标(i，j)这个格内有多少条不同的路径，所以最终的答案就是求dp[m-1][n-1]。

因为只能从上面或左边走过来，所以递推公式是

dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]。
dp[i-1][j] 表示的是从上面走过来的路径条数。

dp[i][j-1] 表示的是从左边走过来的路径条数。

那么边界条件是什么呢，如果Finish在第一行的任何位置都只有一条路径，同理Finish在第一列的任何位置也都只有一条路径，所以边界条件是第一行和第一列都是1。我们已经找到了递推公式，又找到了边界条件，所以动态规划代码很容易写出来，我们来看下

public int uniquePaths(int m, int n) {
    int[][] dp = new int[m][n];
    //第一列都是1
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        dp[i][0] = 1;
    }
    //第一行都是1
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        dp[0][i] = 1;
    }

    //这里是递推公式
    for (int i = 1; i < m; i++)
        for (int j = 1; j < n; j++)
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
    return dp[m - 1][n - 1];
}

动态规划优化

我们看上面二维数组的递推公式，当前坐标的值只和左边与上面的值有关，和其他的无关，这样二维数组造成大量的空间浪费，所以我们可以把它改为一维数组。

public int uniquePaths(int m, int n) {
    int[] dp = new int[m];
    Arrays.fill(dp, 1);
    for (int j = 1; j < n; j++)
        for (int i = 1; i < m; i++)
            dp[i] += dp[i - 1];
    return dp[m - 1];
}

这里的dp[i]+=dp[i-1]；实际上就是dp[i]=dp[i]+dp[i-1]，我们可以这样理解，上面的网格我们是一行一行计算的，**dp[i]**也就是上面深色的表示的是当前位置上面的值，dp[i-1]表示的是当前位置左边的值。

递归方式

这题除了动态规划以外，还可以把上面的动态规划改为递归的方式

public int uniquePaths(int m, int n) {
    return uniquePathsHelper(1, 1, m, n);
}

//第i行第j列到第m行第n列共有多少种路径
public int uniquePathsHelper(int i, int j, int m, int n) {
    //边界条件的判断
    if (i > m || j > n)
        return 0;
    if ((i == m && j == n))
        return 1;
    //从右边走有多少条路径
    int right = uniquePathsHelper(i + 1, j, m, n);
    //从下边走有多少条路径
    int down = uniquePathsHelper(i, j + 1, m, n);
    //返回总的路径
    return right + down;
}

代码中有注释，很容易理解，但其实这种效率很差，因为他包含了大量的重复计算，我们画个图来看一下。

我们看到上面图中红色，黑色，还有那种什么颜色的都表示重复的计算，所以有一种方式就是把计算过的值使用一个map存储起来，用的时候先查看是否计算过，如果计算过就直接拿来用，看下代码

public int uniquePaths(int m, int n) {
    return uniquePathsHelper(1, 1, m, n, new HashMap<>());
}

public int uniquePathsHelper(int i, int j, int m, int n, Map<String, Integer> map) {
    if (i > m || j > n)
        return 0;
    if ((i == m && j == n))
        return 1;
    String key = i + "*" + j;
    if (map.containsKey(key))
        return map.get(key);
    int right = uniquePathsHelper(i + 1, j, m, n, map);
    int down = uniquePathsHelper(i, j + 1, m, n, map);
    int totla = right + down;
    map.put(key, totla);
    return totla;
}

使用公式计算

我们要想到达终点，需要往下走n-1步，往右走m-1步，总共需要走n+m-2步。他无论往右走还是往下走他的总的步数是不会变的。也就相当于总共要走n+m-2步，往右走m-1步总共有多少种走法，很明显这就是一个排列组合问题，公式如下

排列组合的计算公式如下

公式为(m+n-2)! / [(m-1)! * (n-1)!]

代码如下

public int uniquePaths(int m, int n) {
    int N = n + m - 2;
    double res = 1;
    for (int i = 1; i < m; i++)
        res = res * (N - (m - 1) + i) / i;
    return (int) res;
}

总结

这题使用动态规划是最容易理解也是最容易解决的，当然后面的递归和公式计算也能解决。