统计学的Python实现-017：标准正态分布

作者：长行

时间：2019.03.15

统计学解释

正态分布：正态分布（normal distribution），又称高斯分布；其概率密度（正态分布曲线）呈钟型，两头低，中间高，左右对称。分布如图：

（图片参见同名word文件）

其概率密度公式为：
$\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(X-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ϕ(x)=2π​σ1​e−2σ2(X−μ)2​
其中$\sigma$σ为标准差，$\mu$μ为均值。

当$\mu=0$μ=0，$\sigma=1$σ=1时称随机变量X服从标准正态分布，其概率密度为：
$\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$ϕ(x)=2π​1​e−2x2​
标准正态分布的概率即为φ(x)的标准正态分布的概率密度的积分，也就是标准正态分布的分布函数的值。标准正态分布的分布函数如下：
$\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{x}_{-∞}{e^{-\frac{t^2}{2}}dt}$ϕ(x)=2π​1​∫−∞x​e−2t2​dt

实现思路

因为标准正态分布的概率密度为超越函数（不可积积分），因此我们通过将被函数包围的面积切分为大量矩阵来计算它的积分。

因为在计算机中我们不方便直接从-∞开始切分为小矩形，所以对于x>0的情况，我们利用$\phi(0)=0.5$ϕ(0)=0.5将$\phi(x)$ϕ(x)转化为在区间(0,X)上的积分，再加上$\phi(0)$ϕ(0)的0.5；对于x<0的情况，我们利用公式：
$\phi(-x)=1-\phi(x)$ϕ(−x)=1−ϕ(x)
进行处理，将x<0的情况转化为x>0的情况。

实现代码

import math
def normal_distribution(x):
    #处理x<0(目标点在分布中心左侧)的情况
    if x<0:
        return 1-normal_distribution(-x)
    if x=0:
        return 0.5
    #求标准正态分布的概率密度的积分
    s=1/10000
    xk=[]
    for i in range(1,x*10000):
        xk.append(i*s)
    integral=(fx_normal_distribution(0)+fx_normal_distribution(x))/2 #f(0)和f(x)各算一半
    for each in xk:
        integral+=fx_normal_distribution(each)
    return 0.5+integral*s

def fx_normal_distribution(x):
    return math.exp((-(x)**2)/2)/(math.sqrt(2*math.pi))

print(normal_distribution(1))

结果

0.8413447458669009