剑指offer-从1到n整数中1出现的次数

方法一、暴力

时间复杂度O(n)$O(n)$

class Solution {
public:
int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)
{
       int cnt=0;
       for(int i=1;i<=n;i++)
       {
          string str;
          str =  to_string(i);
          for(int j=0;j<str.size();j++)
          {
            if(str[j]=='1')cnt++;
          }
       }
       return  cnt;
}
};

方法二、统计规律

时间复杂度O(logn)$O(logn)$
参考文献http://www.cnblogs.com/cyjb/p/digitOccurrenceInRegion.html
计算 1 至 n 中数字 X 出现的次数，其中 n≥1,X∈[1,9]。
依次求出数字 X 在个位、十位、百位等等出现的次数，再相加得到最终结果。这里的 X∈[1,9]，因为 X=0不符合下列规律，需要单独计算。

首先要知道以下的规律：
从 1 至 10，在它们的个位数中，任意的 X 都出现了 1 次。
从 1 至 100，在它们的十位数中，任意的 X 都出现了 10 次。
从 1 至 1000，在它们的千位数中，任意的 X 都出现了 100 次。

依此类推，从 1 至 10i${10}^i$，在它们的左数第二位（右数第 i 位）中，任意的 X 都出现了 10i−1${10}^{i-1}$次。

这个规律很容易验证，这里不再多做说明。

接下来以 n=2593,X=5

为例来解释如何得到数学公式。从 1 至 2593 中，数字 5 总计出现了 813 次，其中有 259 次出现在个位，260 次出现在十位，294 次出现在百位，0 次出现在千位。

现在依次分析这些数据，首先是个位。从 1 至 2590 中，包含了 259 个 10，因此任意的 X 都出现了 259 次。最后剩余的三个数 2591, 2592 和 2593，因为它们最大的个位数字 3 < X，因此不会包含任何 5。

然后是十位。从 1 至 2500 中，包含了 25 个 100，因此任意的 X 都出现了 25×10=250次。剩下的数字是从 2501 至 2593，它们最大的十位数字 9 > X，因此会包含全部 10 个 5。最后总计 250 + 10 = 260。

接下来是百位。从 1 至 2000 中，包含了 2 个 1000，因此任意的 X 都出现了 2×100=200次。剩下的数字是从 2001 至 2593，它们最大的百位数字 5 == X，这时情况就略微复杂，它们的百位肯定是包含 5 的，但不会包含全部 100 个。如果把百位是 5 的数字列出来，是从 2500 至 2593，数字的个数与百位和十位数字相关，是 93+1 = 94。最后总计 200 + 94 = 294。

最后是千位。现在已经没有更高位，因此直接看最大的千位数字 2 < X，所以不会包含任何 5。到此为止，已经计算出全部数字 5 的出现次数。

总结一下以上的算法，可以看到，当计算右数第 i位包含的 X 的个数时：
1.取第 i位左边（高位）的数字，乘以 10i−1${10}^{i-1}$，得到基础值 a。
2.取第 i位数字，计算修正值：
如果大于 X，则结果为 a+10i−1${10}^{i-1}$。
如果小于 X，则结果为 a。
如果等 X，则取第 i位右边（低位）数字，设为 b，最后结果为 a+b+1。

    int count(int n, int x) 
{
    int cnt = 0, k;
    for (int i = 1;k = n / i;i *= 10) 
    {     
        cnt += (k / 10) * i; // k / 10 为高位的数字。
        int cur = k % 10;    // 当前位的数字。
        if (cur > x) 
            cnt += i;
        else if (cur == x)             
            cnt += n - k * i + 1;// n - k * i 为低位的数字。
    }
    return cnt;
}